Bài tập 52, § 1

Cho $(A_i)_{i \in I}$ là một họ các vành, $A = \prod_i A_i$, và $p_i : A \to A_i$ là phép chiếu chính tắc ứng với mỗi $i \in I$. a) Ánh xạ $\alpha : A[[T]] \to \prod_i A_i[[T]]$, ánh xạ $\sum a_n T^n$ thành $(\sum p_i(a_n) T^n)_{i \in I}$, là một đẳng cấu của các vành. Bằng hạn chế, nó xác định một đẳng cấu của các vành $\alpha : \Lambda(A) \to \prod_i \Lambda(A_i)$. Hơn nữa, với mọi $n \in J$, ta có $\alpha \circ \lambda_n^A = (\prod_i \lambda_n^{A_i}) \circ \alpha$. (Sử dụng các "đa thức phổ quát" của Bài tập 46, d), p. 59.) b) Giả sử rằng, với mỗi $i \in I$, $A_i$ được trang bị một cấu trúc vành pre-$\lambda$ $\lambda_i : A_i \to \Lambda(A_i)$. Bằng cách đồng nhất $\Lambda(A)$ với $\prod_i \Lambda(A_i)$ nhờ $\alpha$, ta định nghĩa $\lambda = \prod_i \lambda_i : A \to \Lambda(A)$. Khi đó $(A, \lambda)$ là một pre-$\lambda$-vành, được gọi là tích của họ $((A_i, \lambda_i))_{i \in I}$. Để $(A, \lambda)$ là một $\lambda$-vành, điều kiện cần và đủ là $(A_i, \lambda_i)$ là một $\lambda$-vành với mỗi $i \in I$.