Exercice 53, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 64

Soit $u = 1 + T + \sum_{n=2}^\infty a_n T^n$ un élément de $\Lambda(\mathbf{Z})$ . Il existe un et un seul homomorphisme de groupes $\lambda^u : \mathbf{Z} \to \Lambda(\mathbf{Z})$ tel que $\lambda^u(1) = u$ , et $(\mathbf{Z}, \lambda^u)$ est un pré- $\lambda$ -anneau. On a $\lambda^u(n) = u^n$ quel que soit $n \in \mathbf{Z}$ . Pour que $(\mathbf{Z}, \lambda^u)$ soit un $\lambda$ -anneau, il faut et il suffit que $u = 1 + T$ , auquel cas on a

\lambda_m^{1+T}(n) = \binom{n}{m} = \frac{n(n-1) \ldots (n-m+1)}{m!}

quels que soient

n \in \mathbf{Z}

m \in \mathbf{N}

Solution

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