Exercice 54, § 1

Soient $C$ un anneau et $A$ une $C$-algèbre (non nécessairement commutative). On note $\mathrm{Rep}_C(A)$ l’ensemble additif des classes des $A$-modules qui sont des $C$-modules projectifs de type fini, et on note $R_C(A)$ le groupe de Grothendieck $K(\mathrm{Rep}_C(A))$ (cf. A, VIII, § 10, no 6). a) Soit $\alpha : A' \to A$ un homomorphisme de $C$-algèbres. Si $E$ est un $A$-module de type $\mathrm{Rep}_C(A)$, alors le module $\alpha_*E$ obtenu par restriction à $A'$ de l’anneau des scalaires $A$ (A, II, p. 30) est un $A'$-module de type $\mathrm{Rep}_C(A')$, et $[E] \mapsto [\alpha_*E]$ définit un homomorphisme $\alpha_* : R_C(A) \to R_C(A')$.

EXERCICES

Si $\alpha_1 : A_1 \to A'$ est un homomorphisme de C-algèbres, on a $(\alpha \circ \alpha_1)_* = \alpha_{1*} \circ \alpha_*$.

b) On pose $K_0(C) = R_C(C)$. L’homomorphisme structural $\varepsilon : C \to A$ définit un homomorphisme $\varepsilon_* : R_C(A) \to K_0(C)$. S’il existe un homomorphisme $\gamma : A \to C$ de C-algèbres, alors $\gamma_* : K_0(C) \to R_C(A)$ est un inverse à droite de $\varepsilon_*$.

c) Soit $\gamma : C \to C'$ un homomorphisme d’anneaux. Si E est un A-module de type $\mathrm{Rep}_C(A)$, alors $\gamma^*E = C' \otimes_C E$ est un $A_{C'}$-module de type $\mathrm{Rep}_{C'}(A_{C'})$, où $A_{C'} = C' \otimes_C A$, et $[E] \mapsto [\gamma^*E]$ définit un homomorphisme $\gamma^* : R_C(A) \to R_{C'}(A_{C'})$. Si $\gamma'_1 : C' \to C_1$ est un autre homomorphisme d’anneaux, on a $(\gamma_1 \circ \gamma)^* = \gamma_1^* \circ \gamma^*$.

d) Soient $E \xrightarrow{f} F \xrightarrow{g} G$ des homomorphismes de A-modules, et posons $h = g \circ f$. Construire une suite exacte de A-modules

Déduire de là que si $f$ et $g$ sont injectifs, et si $\mathrm{Coker}(f)$ et $\mathrm{Coker}(g)$ sont de type $\mathrm{Rep}_C(A)$, alors $\mathrm{Coker}(h)$ est de type $\mathrm{Rep}_C(A)$, et on a

dans $R_C(A)$.