Bài tập 54, § 1

Cho $C$ là một vành và $A$ là một $C$-đại số (không nhất thiết giao hoán). Ta ký hiệu bởi $\mathrm{Rep}_C(A)$ tập hợp cộng tính các lớp của các $A$-môđun là các $C$-môđun xạ ảnh kiểu hữu hạn, và bởi $R_C(A)$ nhóm Grothendieck $K(\mathrm{Rep}_C(A))$ (xem A, VIII, § 10, No. 6). a) Cho $\alpha : A' \to A$ là một đồng cấu của các $C$-đại số. Nếu $E$ là một $A$-môđun kiểu $\mathrm{Rep}_C(A)$, thì môđun $\alpha_*E$ thu được bằng hạn chế vành vô hướng $A$ xuống $A'$ (A, II, p. 30) là một $A'$-môđun kiểu $\mathrm{Rep}_C(A')$, và $[E] \mapsto [\alpha_*E]$ xác định một đồng cấu $\alpha_* : R_C(A) \to R_C(A')$.

BÀI TẬP

Nếu $\alpha_1 : A_1 \to A'$ là một đồng cấu của các C-đại số, ta có $(\alpha \circ \alpha_1)_* = \alpha_{1*} \circ \alpha_*$.

b) Đặt $K_0(C) = R_C(C)$. Đồng cấu cấu trúc $\varepsilon : C \to A$ xác định một đồng cấu $\varepsilon_* : R_C(A) \to K_0(C)$. Nếu tồn tại một đồng cấu $\gamma : A \to C$ của các C-đại số, thì $\gamma_* : K_0(C) \to R_C(A)$ là một nghịch đảo phải của $\varepsilon_*$.

c) Cho $\gamma : C \to C'$ là một đồng cấu của các vành. Nếu E là một A-môđun kiểu $\mathrm{Rep}_C(A)$, thì $\gamma^*E = C' \otimes_C E$ là một $A_{C'}$-môđun kiểu $\mathrm{Rep}_{C'}(A_{C'})$, trong đó $A_{C'} = C' \otimes_C A$, và $[E] \mapsto [\gamma^*E]$ xác định một đồng cấu $\gamma^* : R_C(A) \to R_{C'}(A_{C'})$. Nếu $\gamma'_1 : C' \to C_1$ là một đồng cấu khác của các vành, ta có $(\gamma_1 \circ \gamma)^* = \gamma_1^* \circ \gamma^*$.

d) Cho $E \xrightarrow{f} F \xrightarrow{g} G$ là các đồng cấu của các A-môđun, và đặt $h = g \circ f$. Xây dựng một dãy khớp các A-môđun

Suy ra từ đó rằng nếu $f$ và $g$ là đơn ánh, và nếu $\mathrm{Coker}(f)$ và $\mathrm{Coker}(g)$ có kiểu $\mathrm{Rep}_C(A)$, thì $\mathrm{Coker}(h)$ có kiểu $\mathrm{Rep}_C(A)$, và ta có

trong $R_C(A)$.