Exercice 55, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 65

Soit C un anneau. Soit G un monoïde et soit $C^{(G)}$ son algèbre sur C. Au lieu de $\mathrm{Rep}_C(C^{(G)})$ et $R_C(C^{(G)})$ , on écrira $\mathrm{Rep}_C(G)$ et $R_C(G)$ . Si $\alpha : G' \to G$ est un homomorphisme de monoïdes, on notera aussi $\alpha$ l’homomorphisme de C-algèbres $C^{(G')} \to C^{(G)}$ qu’il définit, et $\alpha_* : R_C(G) \to R_C(G')$ l’homomorphisme correspondant.

D’après A, VIII, § 10, no 5, il existe sur $R_C(G)$ une structure d’anneau (commutatif) telle que

[E].[F] = [E \otimes_C F]

si E et F sont des modules de type $\mathrm{Rep}_C(G)$ . L’élément neutre pour cette multiplication est la classe du module $C_1$ , égal à C avec opération triviale de G.

a) L’anneau $R_C(G)$ admet une unique structure de pré- $\lambda$ -anneau telle que

\lambda[E] = \sum_{n \geq 0} [\Lambda^n(E)] T^n

pour tout module E de type $\mathrm{Rep}_C(G)$ . (Observer tout d’abord que $\Lambda^n(E)$ est encore un module de type $\mathrm{Rep}_C(G)$ . Ensuite, si F est un sous-module tel que F et E/F sont de type $\mathrm{Rep}_C(G)$ , montrer que

[\Lambda^n(E)] = \sum_{p=0}^n [\Lambda^p(F) \otimes_C \Lambda^{n-p}(E/F)]

dans $R_C(G)$ . Pour cela notons $L_p$ l’image de $\Lambda^p(F) \otimes_C \Lambda^{n-p}(E)$ , par la multiplication, dans $\Lambda^n(E)$ . On a $\Lambda^n(E) = L_0 \supset L_1 \supset ... \supset L_n = \Lambda^n(F) \supset L_{n+1} = 0$ , et il existe un isomorphisme canonique de $C^{(G)}$ -modules de $L_p/L_{p+1}$ sur $\Lambda^p(F) \otimes \Lambda^{n-p}(E/F)$ .

b) Pour tout homomorphisme $\alpha : G' \to G$ de monoïdes, l’application $\alpha_* : R_C(G) \to R_C(G')$ est un $\lambda$ -morphism. En particulier $K_0(C)$ est un pré- $\lambda$ -anneau et $\varepsilon_* : R_C(G) \to K_0(C)$ est un $\lambda$ -morphism. L’homomorphisme $G \to \{1\}$ en fournit un inverse à droite.

c) Soient G un monoïde et R un ensemble. Une fonction $f : G \to R$ sera dite centrale si $f(st) = f(ts)$ quels que soient $s, t \in G$ . Notons FC(G, R) l’ensemble de ces fonctions. Si R est un $\lambda$ -anneau, FC(G, R) est canoniquement muni d’une structure de $\lambda$ -anneau telle que

(f + f')(s) = f(s) + f'(s)

(f.f')(s) = f(s).f'(s)

(\lambda_n f)(s) = \lambda_n(f(s))

quels que soient $f, f'$ dans FC(G, R) et s dans G. Ceci s’applique notamment lorsque $R = \Lambda(C)$ .

d) Soit E un module de type Rep_C(G). Pour tout s ∈ G, notons s_E l’homothétie de rapport s dans E, et posons

\overline{\chi}_E(s) = \det_{E[T]}(1 + s_E T) \in \Lambda(C)

(cf. p. 62, exerc. 49). Montrer que

\overline{\chi} : [E] \mapsto \overline{\chi}_E

définit un $\lambda$ -morphisme

\overline{\chi} : R_C(G) \to FC(G, \Lambda(C)) .

e) Si C est un corps, alors $\overline{\chi}$ est injectif (A, VIII, § 10, n° 6, prop. 10). En déduire dans ce cas que $R_C(G)$ est un $\lambda$ -anneau.

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