Bài tập 55, § 1

Cho C là một vành. Cho G là một nửa nhóm và cho $C^{(G)}$ là đại số của nó trên C. Thay vì $\mathrm{Rep}_C(C^{(G)})$ và $R_C(C^{(G)})$, ta sẽ viết $\mathrm{Rep}_C(G)$ và $R_C(G)$. Nếu $\alpha : G' \to G$ là một đồng cấu của các nửa nhóm, ta cũng sẽ ký hiệu bởi $\alpha$ đồng cấu của các C-đại số $C^{(G')} \to C^{(G)}$ mà nó xác định, và bởi $\alpha_* : R_C(G) \to R_C(G')$ đồng cấu tương ứng.

Theo A, VIII, § 10, No. 5, tồn tại trên $R_C(G)$ một cấu trúc vành (giao hoán) sao cho

nếu E và F là các môđun kiểu $\mathrm{Rep}_C(G)$. Phần tử đơn vị của phép nhân này là lớp của môđun $C_1$, bằng C với tác động tầm thường của G.

a) Vành $R_C(G)$ thừa nhận một cấu trúc duy nhất của vành pre-$\lambda$ sao cho

với mọi môđun E kiểu $\mathrm{Rep}_C(G)$. (Trước hết hãy nhận xét rằng $\Lambda^n(E)$ lại là một môđun kiểu $\mathrm{Rep}_C(G)$. Tiếp theo, nếu F là một môđun con sao cho F và E/F có kiểu $\mathrm{Rep}_C(G)$, bây giờ chứng minh rằng

trong $R_C(G)$. Với mục đích này, ký hiệu $L_p$ là ảnh của $\Lambda^p(F) \otimes_C \Lambda^{n-p}(E)$, qua phép nhân, trong $\Lambda^n(E)$. Ta có $\Lambda^n(E) = L_0 \supset L_1 \supset ... \supset L_n = \Lambda^n(F) \supset L_{n+1} = 0$, và tồn tại một đẳng cấu chính tắc của các $C^{(G)}$-môđun từ $L_p/L_{p+1}$ lên $\Lambda^p(F) \otimes \Lambda^{n-p}(E/F)$.

b) Với mọi đồng cấu $\alpha : G' \to G$ của các nửa nhóm, ánh xạ $\alpha_* : R_C(G) \to R_C(G')$ là một cấu xạ $\lambda$. Đặc biệt $K_0(C)$ là một vành pre-$\lambda$ và $\varepsilon_* : R_C(G) \to K_0(C)$ là một cấu xạ $\lambda$. Đồng cấu $G \to \{1\}$ cung cấp một nghịch đảo phải cho nó.

c) Cho G là một nửa nhóm và R là một tập hợp. Một hàm $f : G \to R$ được gọi là trung tâm nếu $f(st) = f(ts)$ với mọi $s, t \in G$. Ký hiệu FC(G, R) là tập hợp các hàm này. Nếu R là một vành $\lambda$, FC(G, R) được trang bị một cách chính tắc một cấu trúc vành $\lambda$ sao cho

với mọi $f, f'$ trong FC(G, R) và s trong G. Điều này áp dụng đặc biệt khi $R = \Lambda(C)$.

d) Cho E là một môđun kiểu Rep_C(G). Với mọi s ∈ G, ký hiệu $s_E$ là phép vị tự tỷ số s trong E, và đặt

(xem p. 62, Bài tập 49). Bây giờ chứng minh rằng

xác định một cấu xạ $\lambda$

e) Nếu C là một trường, thì $\overline{\chi}$ là đơn ánh (A, VIII, § 10, No. 6, Mệnh đề 10). Suy ra trong trường hợp này rằng $R_C(G)$ là một vành $\lambda$.