Exercice 56, § 1

Soit G le monoïde libre engendré par un élément T, de sorte que $C^{(G)}$ s’identifie à $C[T]$. Notons $C_0$ le module $C[T]/TC[T]$. Alors $[C_0]$ est un élément idempotent de $R_C(C[T])$. Le noyau du $\lambda$-morphisme canonique $R_C(C[T]) \to K_0(C)$ est l’idéal engendré par $1 - [C_0]$. Posons

a) Montrer que $[C_0].R_C(C[T])$ est un $\lambda$-idéal, donc que $\tilde{R}_C(C[T])$ admet une structure quotient de pré-$\lambda$-anneau. b) Pour tout module E de type $Rep_C(C[T])$, notons $T_E$ l’homothétie de rapport T dans E. On a

et

est le polynôme caractéristique de $T_E$ (cf. exerc. 49, p. 62). Montrer que $[E] \mapsto \overline{\chi}_E(T)$ définit un $\lambda$-morphisme $R_C(C[T]) \to \Lambda(C)$ dont le noyau contient $[C_0]$. Par passage au quotient, on obtient un $\lambda$-morphisme

c) Notons $\Lambda_{rat}(C)$ le sous-groupe de $\Lambda(C)$ engendré par les éléments de $\Lambda(C)$ qui sont des polynômes en T. Montrer que l’image de $\overline{\chi}$ est $\Lambda_{rat}(C)$. En conclure que $\Lambda_{rat}(C)$ est un sous-$\lambda$-anneau de $\Lambda(C)$. d) Pour tout $r \in \mathbf{Z}$, définissons $\sigma_r : C[T, T^{-1}] \to C[T, T^{-1}]$ par $(\sigma_r f)(T) = T^r f(( - T)^{-1})$. On a $(\sigma_r(\sigma_s f))(T) = (-1)^s T^{r-s} f(T)$, en particulier $\sigma_r(\sigma_r f) = (-1)^r f$, et $(\sigma_r f).(\sigma_s g) = \sigma_{r+s}(f.g)$, quels que soient $r, s$ dans $\mathbf{Z}$ et $f, g$ dans $C[T, T^{-1}]$. Si $f$ est un polynôme en T de degré $\leq r$ ($r \geq 0$), alors $\sigma_r f$ en est un aussi. Si de plus $f \in \Lambda(C)$ (i.e. $f(0) = 1$), alors $\sigma_r f$ est unitaire de degré $r$. Si E est un $C[T]$-module qui est un $C$-module libre de rang $r$, on a $\sigma_r(\overline{\chi}_E(T)) = \chi_E(T)$. e) Si $f \in \Lambda(C)$ est un polynôme en T de degré $\leq r$, posons $E_{r,f} = C[T]/\sigma_r f.C[T]$; c’est un $C$-module libre de rang $r$. Si $f = 1$ on a $E_{r,1} = C[T]/T^r C[T]$. Si $g \in \Lambda(C)$ est un polynôme en T de degré $\leq s$, on a une suite exacte de $C[T]$-modules

(utiliser d)). Montrer que la classe $\tau(f)$ de $E_{r,f}$ dans $\tilde{R}_C(C[T])$ est indépendante de $r$ ($\geq \deg(f)$). (En effet $\sigma_{r+s} f = (\sigma_s 1).(\sigma_r f) = T^s.(\sigma_r f)$, et la classe du module $C[T]/T^s C[T]$ dans $\tilde{R}_C(C[T])$ est nulle.) Montrer que si $g$ est un polynôme dans $\Lambda(C)$, on a $\tau(fg) = \tau(f) + \tau(g)$. (Utiliser encore la suite exacte (*).) Déduire de là que $\tau$ s’étend en un homomorphisme de groupes

f) Montrer que $\overline{\chi} \circ \tau$ est l’application identique de $\Lambda_{rat}(C)$. (Utiliser le fait que si $f \in \Lambda(C)$ est un polynôme de degré $\leq r$, alors le polynôme caractéristique de $T_{E_{r,f}}$ est $\sigma_r f$.) g) Montrer que tout élément de $\tilde{R}_C(C[T])$ est la classe d’un $C[T]$-module E qui est un $C$-module libre.

h) Soit E un C[T]-module, et notons $u \in \mathrm{End}_C(E)$ l’homothétie de rapport T dans E ; soit $\overline{u} = \mathrm{Id}_{C[T]} \otimes_C u \in \mathrm{End}_{C[T]}(E[T])$. On a une suite exacte de C[T]-modules

(A, III, p. 106). Supposons que E soit un C-module libre de base $(e_1, ..., e_r)$. Alors E[T] est un C[T]-module libre de base $(1 \otimes e_i)$. Si la matrice de $u$ pour la base $(e_i)$ est $(a_{ij})$, la matrice de $T - \overline{u}$ pour la base $(1 \otimes e_i)$ est $(T \delta_{ij} - a_{ij})$.

i) Soit $f = (f_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$ une matrice à coefficients dans C[T]. On dira que $f$ est spéciale si, quels que soient $i, j$ dans $\{1, ..., r\}$, $i \neq j$, $f_{ii}$ est un polynôme unitaire et $\deg(f_{ii}) > \deg(f_{ij})$. Montrer alors que $\det(f)$ est un polynôme unitaire (de degré $\deg(f_{11}) + \cdots + \deg(f_{rr})$) et que $f$ définit un endomorphisme injectif de C[T]''. Déduire de h) que tout C[T]-module qui est un C-module libre de rang $r$ est isomorphe au conoyau d’un tel endomorphisme de C[T]''.

j) Soit $f$ une matrice spéciale comme dans i). Posons $f = \begin{pmatrix} f_{11} & f_+ \\ f_- & f' \end{pmatrix}$ où $f_+, f_-, f'$ sont des matrices de types $(1, r-1)$, $(r-1, 1)$ et $(r-1, r-1)$ respectivement. Posons

où $\overline{f} = f_{11} f' - f_- f_+$. Montrer que $h$ est une matrice spéciale. De plus, en identifiant les matrices carrées aux endomorphismes correspondants, on obtient des suites exactes de C[T]-modules (où $\mathrm{Coker}(g)$ est isomorphe à $\mathbf{C}[T]^r / f_{11} \mathbf{C}[T]^{r-1}$) et Déduire de là, par récurrence sur $r$, que $\mathrm{Coker}(f)$ est un C-module projectif dont la classe dans $R_C(C[T])$ est combinaison $\mathbf{Z}$-linéaire d’éléments de la forme $[C[T]/pC[T]]$ où $p$ est un polynôme unitaire.

k) Utiliser les parties f), g), i) et j) précédentes pour montrer que $\tau : \Lambda_{rat}(C) \to \tilde{R}_C(C[T])$ est surjectif, donc que $\overline{\chi} : \tilde{R}_C(C[T]) \to \Lambda_{rat}(C)$ est un isomorphisme.

l) Montrer que $\Lambda_{rat}(C)$ est stable par $V_n$ et $F_n$ pour chaque $n \in J$. Il leur correspond donc des endomorphismes $V_n$ et $F_n$ de $\tilde{R}_C(C[T])$, par l’isomorphisme précédent. Soit $\varphi_n$ l’homomorphisme de C-algèbres de C[T] dans lui-même qui applique T sur $T^n$. Montrer que $V_n$ (resp. $F_n$) se déduit de l’endomorphisme $\varphi_n^*$ (resp. $(\varphi_n)_*$) de $R_C(C[T])$ par passage aux quotients.

Dans les exercices ci-après, $p$ est un nombre premier fixé, et les anneaux de vecteurs de Witt sont relatifs à ce nombre premier.