Bài tập 56, § 1

Cho $G$ là đơn thức tự do sinh bởi một phần tử T, sao cho $C^{(G)}$ được đồng nhất với $C[T]$. Ký hiệu $C_0$ là môđun $C[T]/TC[T]$. Khi đó $[C_0]$ là một phần tử lũy đẳng của $R_C(C[T])$. Hạt nhân của $\lambda$-cấu xạ chính tắc $R_C(C[T]) \to K_0(C)$ là iđêan sinh bởi $1 - [C_0]$. Đặt

a) Bây giờ chứng minh rằng $[C_0].R_C(C[T])$ là một iđêan-$\lambda$, do đó $\tilde{R}_C(C[T])$ nhận được một cấu trúc thương của vành tiền-$\lambda$. b) Với mọi môđun E kiểu $Rep_C(C[T])$, ký hiệu $T_E$ là phép vị tự với tỉ số T trên E. Ta có

và

là đa thức đặc trưng của $T_E$ (xem bài tập 49, p. 62). Bây giờ chứng minh rằng $[E] \mapsto \overline{\chi}_E(T)$ xác định một $\lambda$-cấu xạ $R_C(C[T]) \to \Lambda(C)$ có hạt nhân chứa $[C_0]$. Chuyển qua thương, ta thu được một $\lambda$-cấu xạ

c) Ký hiệu $\Lambda_{rat}(C)$ là nhóm con của $\Lambda(C)$ sinh bởi các phần tử của $\Lambda(C)$ là các đa thức theo T. Bây giờ chứng minh rằng ảnh của $\overline{\chi}$ là $\Lambda_{rat}(C)$. Kết luận rằng $\Lambda_{rat}(C)$ là một vành con-$\lambda$ của $\Lambda(C)$.

d) Với mọi $r \in \mathbf{Z}$, định nghĩa $\sigma_r : C[T, T^{-1}] \to C[T, T^{-1}]$ bởi $(\sigma_r f)(T) = T^r f(( - T)^{-1})$. Ta có $(\sigma_r(\sigma_s f))(T) = (-1)^s T^{r-s} f(T)$, đặc biệt $\sigma_r(\sigma_r f) = (-1)^r f$, và $(\sigma_r f).(\sigma_s g) = \sigma_{r+s}(f.g)$, với mọi $r, s$ trong $\mathbf{Z}$ và $f, g$ trong $C[T, T^{-1}]$. Nếu $f$ là một đa thức theo T có bậc $\leq r$ ($r \geq 0$), thì $\sigma_r f$ cũng là một đa thức như vậy. Hơn nữa, nếu $f \in \Lambda(C)$ (tức là $f(0) = 1$), thì $\sigma_r f$ là đơn thức bậc $r$. Nếu E là một $C[T]$-môđun là một $C$-môđun tự do hạng $r$, thì $\sigma_r(\overline{\chi}_E(T)) = \chi_E(T)$.

e) Nếu $f \in \Lambda(C)$ là một đa thức theo T có bậc $\leq r$, đặt $E_{r,f} = C[T]/\sigma_r f.C[T]$; đó là một $C$-môđun tự do có hạng $r$. Nếu $f = 1$ thì ta có $E_{r,1} = C[T]/T^r C[T]$. Nếu $g \in \Lambda(C)$ là một đa thức theo T có bậc $\leq s$, ta có một dãy khớp các $C[T]$-môđun

(dùng d)). Bây giờ chứng minh rằng lớp $\tau(f)$ của $E_{r,f}$ trong $\tilde{R}_C(C[T])$ độc lập với $r$ ($\geq \deg(f)$). (Thật vậy $\sigma_{r+s} f = (\sigma_s 1).(\sigma_r f) = T^s.(\sigma_r f)$, và lớp của môđun $C[T]/T^s C[T]$ trong $\tilde{R}_C(C[T])$ là không.) Bây giờ chứng minh rằng nếu $g$ là một đa thức trong $\Lambda(C)$, ta có $\tau(fg) = \tau(f) + \tau(g)$. (Lại dùng dãy khớp (*).) Suy ra từ đó rằng $\tau$ mở rộng thành một đồng cấu nhóm

f) Bây giờ chứng minh rằng $\overline{\chi} \circ \tau$ là ánh xạ đồng nhất của $\Lambda_{rat}(C)$. (Dùng sự kiện rằng nếu $f \in \Lambda(C)$ là một đa thức có bậc $\leq r$, thì đa thức đặc trưng của $T_{E_{r,f}}$ là $\sigma_r f$.)

g) Bây giờ chứng minh rằng mọi phần tử của $\tilde{R}_C(C[T])$ đều là lớp của một $C[T]$-môđun E là một $C$-môđun tự do.

h) Cho E là một $C[T]$-môđun, và ký hiệu $u \in \mathrm{End}_C(E)$ là phép vị tự tỉ số T trong E; đặt $\overline{u} = \mathrm{Id}_{C[T]} \otimes_C u \in \mathrm{End}_{C[T]}(E[T])$. Ta có một dãy khớp các $C[T]$-môđun

(A, III, p. 106). Giả sử E là một $C$-môđun tự do với cơ sở $(e_1, ..., e_r)$. Khi đó E[T] là một $C[T]$-môđun tự do với cơ sở $(1 \otimes e_i)$. Nếu ma trận của $u$ đối với cơ sở $(e_i)$ là $(a_{ij})$, thì ma trận của $T - \overline{u}$ đối với cơ sở $(1 \otimes e_i)$ là $(T \delta_{ij} - a_{ij})$.

i) Cho $f = (f_{ij})_{1 \leq i,j \leq r}$ là một ma trận có các hệ số trong C[T]. Ta sẽ nói rằng $f$ là đặc biệt nếu, với mọi $i, j$ thuộc $\{1, ..., r\}$, $i \neq j$, $f_{ii}$ là một đa thức đơn khởi và $\deg(f_{ii}) > \deg(f_{ij})$. Bây giờ chứng minh rằng $\det(f)$ là một đa thức đơn khởi (có bậc $\deg(f_{11}) + \cdots + \deg(f_{rr})$) và rằng $f$ xác định một tự đồng cấu đơn ánh của C[T]''. Suy ra từ h) rằng mọi $C[T]$-môđun là một $C$-môđun tự do có hạng $r$ đều đẳng cấu với đối hạt nhân của một tự đồng cấu như vậy của C[T]''.

j) Cho $f$ là một ma trận đặc biệt như trong i). Đặt $f = \begin{pmatrix} f_{11} & f_+ \\ f_- & f' \end{pmatrix}$ trong đó $f_+, f_-, f'$ lần lượt là các ma trận kiểu $(1, r-1)$, $(r-1, 1)$ và $(r-1, r-1)$. Đặt

trong đó $\overline{f} = f_{11} f' - f_- f_+$. Bây giờ chứng minh rằng $h$ là một ma trận đặc biệt. Hơn nữa, bằng cách đồng nhất các ma trận vuông với các tự đồng cấu tương ứng, ta thu được các dãy khớp của các C[T]-môđun (trong đó $\mathrm{Coker}(g)$ đẳng cấu với $\mathbf{C}[T]^r / f_{11} \mathbf{C}[T]^{r-1}$) và Suy ra từ đây, bằng quy nạp theo $r$, rằng $\mathrm{Coker}(f)$ là một C-môđun xạ ảnh mà lớp của nó trong $R_C(C[T])$ là một tổ hợp tuyến tính $\mathbf{Z}$ của các phần tử có dạng $[C[T]/pC[T]]$ trong đó $p$ là một đa thức đơn khởi.

k) Dùng các phần f), g), i) và j) trước đó để chứng minh rằng $\tau : \Lambda_{rat}(C) \to \tilde{R}_C(C[T])$ là toàn ánh, do đó $\overline{\chi} : \tilde{R}_C(C[T]) \to \Lambda_{rat}(C)$ là một đẳng cấu.

l) Bây giờ chứng minh rằng $\Lambda_{rat}(C)$ ổn định bởi $V_n$ và $F_n$ với mỗi $n \in J$. Do đó, theo đẳng cấu trước đó, tương ứng với chúng là các tự đồng cấu $V_n$ và $F_n$ của $\tilde{R}_C(C[T])$. Cho $\varphi_n$ là đồng cấu các C-đại số của C[T] vào chính nó, biến T thành $T^n$. Bây giờ chứng minh rằng $V_n$ (resp. $F_n$) được suy ra từ tự đồng cấu $\varphi_n^*$ (resp. $(\varphi_n)_*$) của $R_C(C[T])$ bằng cách chuyển qua các thương.

Trong các bài tập dưới đây, $p$ là một số nguyên tố cố định, và các vành vectơ Witt đều được xét tương đối với số nguyên tố này.