Exercice 11, § 2

Soient k un corps de caractéristique p, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une p-base de k, C le sous-anneau de Cohen de W(k) contenant $\tau(\xi_\lambda)$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. Soit $(\varepsilon_j)_{j \in J}$ une base de $k^*/(k^{*p})$ comme $\mathbf{F}_p$-espace vectoriel. Soient n un entier $\geqslant 0$ et $(x_j)_{j \in J}$ une famille d’éléments de $k^*$ telle que l’image de $x_j$ dans $k^*/k^{*p}$ soit $\varepsilon_j$, pour tout $j \in J$. a) Le groupe $k^*/k^{*p^n}$ est un $(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})$-module libre de base $(\overline{x}_j)_{j \in J}$, où $\overline{x}_j$ est la classe de $x_j$ dans $k^*/k^{*p^n}$. b) Pour tout $j \in J$, écrivons la décomposition de $x_j$ suivant la base $(\xi^m)_{m \in M_n}$ de k sur $k^{p^n}$ (avec les notations de l’exerc. 3, p. 69) :

Posons

et

Alors $\sigma_n$ s’étend, de façon unique, en une application multiplicative de $k^*$ dans $C/p^{n+1}C$, encore notée $\sigma_n$, et qui par passage au quotient, détermine l’inclusion de $k^*$ dans $k = C/pC$. c) Soit $\sigma'_n$ une autre application multiplicative de $k^*$ dans $C/p^{n+1}C$ définissant l’inclusion de $k^*$ dans k par passage au quotient. Alors pour tout $x \in k^*$, on a $\sigma_n(x) = v(x) \sigma'_n(x)$, où $v$ est un homomorphisme de $k^*$ dans le groupe multiplicatif $(1 + pC)/(1 + p^{n+1}C)$ trivial sur $k^{*p^n}$. Une famille quelconque $(\beta_j)_{j \in J}$ d’éléments de $C/p^nC$ définit un tel homomorphisme par la formule

d) Pour tout entier n $\geqslant 0$ et toute application multiplicative $s_n : k^* \to C/p^{n+1}C$ définissant l’inclusion de $k^*$ dans k par passage au quotient, il existe une application multiplicative $s_{n+1} : k^* \to C/p^{n+2}C$ qui détermine $s_n$ par passage au quotient. e) Prouver qu’il existe une section multiplicative $s : k \to C$. On peut imposer à s de vérifier $s(\xi_\lambda) = \tau(\xi_\lambda)$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. f) Soit A un anneau local, séparé et complet. Soient k son corps résiduel, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une p-base de k, et pour $\lambda \in \Lambda$, $a_\lambda$ un relèvement de $\xi_\lambda$ dans A. Montrer qu’il existe une section multiplicative $k^* \to A$ qui vérifie $s(\xi_\lambda) = a_\lambda$.