Bài tập 11, § 2

Cho $k$ là một trường có đặc số $p$, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một cơ sở $p$ của $k$, $C$ là vành con Cohen của $W(k)$ chứa $\tau(\xi_\lambda)$ với mọi $\lambda \in \Lambda$. Cho $(\varepsilon_j)_{j \in J}$ là một cơ sở của $k^*/(k^{*p})$ như một không gian $\mathbf{F}_p$-vectơ. Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$ và $(x_j)_{j \in J}$ là một họ các phần tử của $k^*$ sao cho ảnh của $x_j$ trong $k^*/k^{*p}$ là $\varepsilon_j$, với mọi $j \in J$. a) Nhóm $k^*/k^{*p^n}$ là một $(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})$-môđun tự do với cơ sở $(\overline{x}_j)_{j \in J}$, trong đó $\overline{x}_j$ là lớp của $x_j$ trong $k^*/k^{*p^n}$. b) Với mỗi $j \in J$, hãy viết phân tích của $x_j$ theo cơ sở $(\xi^m)_{m \in M_n}$ của $k$ trên $k^{p^n}$ (với ký hiệu của Bài tập 3, p. 69):

Đặt

và

Khi đó $\sigma_n$ mở rộng, theo một cách duy nhất, thành một ánh xạ nhân của $k^*$ vào $C/p^{n+1}C$, vẫn ký hiệu là $\sigma_n$, và ánh xạ này, khi chuyển qua thương, xác định phép nhúng của $k^*$ vào $k = C/pC$. c) Cho $\sigma'_n$ là một ánh xạ nhân khác của $k^*$ vào $C/p^{n+1}C$ xác định phép nhúng của $k^*$ vào $k$ khi chuyển qua thương. Khi đó với mọi $x \in k^*$, ta có $\sigma_n(x) = v(x) \sigma'_n(x)$, trong đó $v$ là một đồng cấu của $k^*$ vào nhóm nhân $(1 + pC)/(1 + p^{n+1}C)$, tầm thường trên $k^{*p^n}$. Mọi họ $(\beta_j)_{j \in J}$ các phần tử của $C/p^nC$ xác định một đồng cấu như vậy bởi công thức

d) Với mọi số nguyên $n \geqslant 0$ và mọi ánh xạ nhân $s_n : k^* \to C/p^{n+1}C$ xác định phép nhúng của $k^*$ vào $k$ khi chuyển qua thương, tồn tại một ánh xạ nhân $s_{n+1} : k^* \to C/p^{n+2}C$ xác định $s_n$ khi chuyển qua thương. e) Chứng minh rằng tồn tại một tiết diện nhân $s : k \to C$. Có thể yêu cầu $s$ thỏa mãn $s(\xi_\lambda) = \tau(\xi_\lambda)$ với mọi $\lambda \in \Lambda$. f) Cho $A$ là một vành địa phương, tách được và đầy đủ. Cho $k$ là trường thặng dư của nó, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một cơ sở $p$ của $k$, và với $\lambda \in \Lambda$, cho $a_\lambda$ là một nâng của $\xi_\lambda$ trong $A$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tiết diện nhân $k^* \to A$ thỏa mãn $s(\xi_\lambda) = a_\lambda$.