Exercice 14, § 2

Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet, de caractéristique nulle, dont le corps résiduel $k$ soit parfait de caractéristique $p$. Soit $K$ le corps des fractions de $A$. Soient $n$ un entier $\geq 1$ et $\zeta$ une racine primitive $p^n$-ième de l’unité dans $K$. Soit $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$, munie de l’unique valuation $v$ prolongeant celle de $K$.

a) Soit $C$ le sous-anneau de Cohen de $A$, $T$ son corps de fractions ; c’est un sous-corps de $K$. L’isomorphisme canonique de $W(k)$ sur $C$ induit un isomorphisme de $W(k) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$ sur $T$. Pour toute extension $l$ de degré fini de $k$, le corps $W(l) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$ est une extension de degré fini de $W(k) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$, galoisienne si $l$ l’est. Si $l$ est galoisienne, l’unique extension $T_l$ de $T$ dans $\overline{K}$ isomorphe à $W(l) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$ a un corps résiduel isomorphe à $l$. En particulier le corps $T^\infty$, réunion des corps $T_l$ quand $l$ parcourt les extensions galoisiennes de degré fini de $k$ (dans une clôture algébrique fixée de $k$), a pour corps résiduel une clôture algébrique $\overline{k}$ de $k$. Il en est de même de $K$. Pour chaque extension $l$ de $k$ dans $\overline{k}$, on notera $T_l$ l’unique extension de $T$ dans $T^\infty$ dont le corps résiduel soit le sous-corps $l$ de $k$, et $K_l$ l’extension composée de $K$ et $T_l$. Alors, si $l$ est galoisienne sur $k$, $K_l$ est galoisienne sur $K$ et son groupe de Galois s’identifie canoniquement au groupe de Galois de $l$ sur $k$.

b) Soit $k_n$ la plus grande extension abélienne de $k$ dans $\overline{k}$ dont le groupe de Galois est annulé par $p^n$. Grâce à l’exerc. 19, p. 45, on a un isomorphisme canonique

Par A, V, p. 85, th. 4, on a un isomorphisme canonique

où $H_n = (K_{k_n}^*)^{p^n} \cap K^*$.

Prouver qu’il existe une unique application

telle que le diagramme suivant soit commutatif :

où la flèche verticale de droite désigne l’application qui à l’homomorphisme $\varphi$ de $H_n/K^{*p^n}$ dans $\mu_{p^n}(K)$ associe l’homomorphisme $\psi$ de $W_n(k)/\mathfrak{p}W_n(k)$ dans $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ défini par $\zeta^{\psi(\alpha)} = \varphi(E^*(\alpha))$ pour $\alpha \in W_n(k)/\mathfrak{p}W_n(k)$. L’application $E^*$ est un isomorphisme.