Bài tập 14, § 2

Cho $A$ là một vành định giá rời rạc đầy đủ có đặc số không, có trường thặng dư $k$ là hoàn hảo với đặc số $p$. Cho $K$ là trường các phân thức của $A$. Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$ và cho $\zeta$ là một nghiệm nguyên thủy bậc $p^n$ của đơn vị trong $K$. Cho $\overline{K}$ là một bao đóng đại số của $K$, được trang bị định giá duy nhất $v$ mở rộng định giá của $K$.

a) Cho $C$ là vành con Cohen của $A$, $T$ là trường các phân thức của nó; nó là một trường con của $K$. Đẳng cấu chính tắc của $W(k)$ lên $C$ cảm sinh một đẳng cấu của $W(k) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$ lên $T$. Với mọi mở rộng bậc hữu hạn $l$ của $k$, trường $W(l) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$ là một mở rộng bậc hữu hạn của $W(k) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$, Galois nếu $l$ là như vậy. Nếu $l$ là Galois, mở rộng duy nhất $T_l$ của $T$ trong $\overline{K}$ đẳng cấu với $W(l) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}$ có một trường thặng dư đẳng cấu với $l$. Đặc biệt trường $T^\infty$, hợp của các trường $T_l$ khi $l$ chạy qua các mở rộng bậc hữu hạn Galois của $k$ (trong một bao đóng đại số cố định của $k$), có trường thặng dư là một bao đóng đại số $\overline{k}$ của $k$. Điều tương tự cũng đúng đối với $K$. Với mỗi mở rộng $l$ của $k$ trong $\overline{k}$, ta sẽ ký hiệu bởi $T_l$ mở rộng duy nhất của $T$ trong $T^\infty$ có trường thặng dư là trường con $l$ của $k$, và bởi $K_l$ hợp thành của $K$ và $T_l$. Khi đó, nếu $l$ là Galois trên $k$, $K_l$ là Galois trên $K$ và nhóm Galois của nó được đồng nhất một cách chính tắc với nhóm Galois của $l$ trên $k$.

b) Gọi $k_n$ là mở rộng Abel lớn nhất của $k$ trong $\overline{k}$ có nhóm Galois bị triệt tiêu bởi $p^n$. Theo bài tập 19, p. 45, ta có một đẳng cấu chính tắc

Theo A, V, p. 85, định lý 4, ta có một đẳng cấu chính tắc

trong đó $H_n = (K_{k_n}^*)^{p^n} \cap K^*$.

Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ duy nhất

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

trong đó mũi tên thẳng đứng bên phải là ánh xạ gán cho đồng cấu $\varphi$ của $H_n/K^{*p^n}$ vào $\mu_{p^n}(K)$ đồng cấu $\psi$ của $W_n(k)/\mathfrak{p}W_n(k)$ vào $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$ được xác định bởi $\zeta^{\psi(\alpha)} = \varphi(E^*(\alpha))$ với $\alpha \in W_n(k)/\mathfrak{p}W_n(k)$. Ánh xạ $E^*$ là một đẳng cấu.