Exercice 15, § 2

Conservons les hypothèses et notations de l’exercice précédent. a) Soient $\alpha \in W(k)$ et $\bar{\alpha} \in W(\overline{k})$ vérifiant $p(\bar{\alpha}) = \alpha$ (cf. p. 45, exerc. 19). Alors l’élément $\zeta^{p^n\bar{\alpha}}$ (p. 72, exerc. 12) du complété $\hat{K}$ de $\overline{K}$ ne dépend que de $\alpha$, il appartient à $K$, et on a

(On pourra prouver l’égalité

où $\pi = \varepsilon^{-1}(\zeta)$ (loc. cit.) et où F désigne l’automorphisme de Frobenius de $W(k)$.) b) Pour $\alpha \in W(k)$, notons $E**(x)$ la classe dans $K^*/K^{*p^n}$ de $\zeta^{p^n\bar{\alpha}}$. Alors $E**(x)$ vaut 1 si $\alpha \in \mathfrak{p}W(k)$ ou si $\alpha \in p^nW(k)$. L’application de $W_n(k)/\mathfrak{p}W_n(k)$ dans $K^*/K^{*p^n}$ qui associe à la classe de $\alpha \in W(k)$ l’élément $E**(x)$, prend ses valeurs dans $H_n/(K^*)^{p^n}$ et vérifie les conditions de l’exerc. 14, b).