Bài tập 15, § 2

Hãy giữ lại các giả thiết và ký hiệu của bài tập trước. a) Cho $\alpha \in W(k)$ và $\bar{\alpha} \in W(\overline{k})$ sao cho $p(\bar{\alpha}) = \alpha$ (xem p. 45, bài tập 19). Khi đó phần tử $\zeta^{p^n\bar{\alpha}}$ (p. 72, bài tập 12) của hoàn thành $\hat{K}$ của $\overline{K}$ chỉ phụ thuộc vào $\alpha$, thuộc $K$, và ta có

(Có thể chứng minh đẳng thức

trong đó $\pi = \varepsilon^{-1}(\zeta)$ (loc. cit.) và F ký hiệu tự đẳng cấu Frobenius của $W(k)$.) b) Với $\alpha \in W(k)$, ký hiệu $E**(x)$ là lớp trong $K^*/K^{*p^n}$ của $\zeta^{p^n\bar{\alpha}}$. Khi đó $E**(x)$ bằng 1 nếu $\alpha \in \mathfrak{p}W(k)$ hoặc nếu $\alpha \in p^nW(k)$. Ánh xạ từ $W_n(k)/\mathfrak{p}W_n(k)$ vào $K^*/K^{*p^n}$ gán cho lớp của $\alpha \in W(k)$ phần tử $E**(x)$ nhận giá trị trong $H_n/(K^*)^{p^n}$ và thỏa mãn các điều kiện của bài tập 14, b).