Exercice 5, § 2

Soient A un anneau et $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite décroissante d’idéaux de A, vérifiant $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Soient R un anneau de caractéristique $p$ et $\overline{\varphi}$ un homomorphisme d’anneaux de R dans $A/J_0$. On appelle relèvement de $\overline{\varphi}$ à $A/J_n$ une application $\varphi_n : R \to A/J_n$ telle que $\varphi_n(x^p) = \varphi_n(x)^p$ pour $x \in R$, et qui redonne $\overline{\varphi}$ par passage au quotient. a) Soient $\varphi_n, \tilde{\varphi}_n$ deux relèvements de $\overline{\varphi}$ à $A/J_n$. Alors $\varphi_n$ et $\tilde{\varphi}_n$ coïncident sur $R^{p^n}$. b) Si R est parfait, il existe un unique relèvement $\varphi_n$ de $\overline{\varphi}$ à $A/J_n$. On a $\varphi_n(1) = 1$ et $\varphi_n(xy) = \varphi_n(x) \varphi_n(y)$ pour $x, y \in R$.