Bài tập 5, § 2

Cho A là một vành và cho $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy giảm các iđêan của A, thỏa mãn $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ với mọi số nguyên $n \geqslant 0$. Cho R là một vành có đặc số $p$ và cho $\overline{\varphi}$ là một đồng cấu vành từ R vào $A/J_0$. Một phép nâng của $\overline{\varphi}$ lên $A/J_n$ theo định nghĩa là một ánh xạ $\varphi_n : R \to A/J_n$ sao cho $\varphi_n(x^p) = \varphi_n(x)^p$ với $x \in R$, và cho lại $\overline{\varphi}$ bằng cách chuyển qua thương. a) Cho $\varphi_n, \tilde{\varphi}_n$ là hai phép nâng của $\overline{\varphi}$ lên $A/J_n$. Khi đó $\varphi_n$ và $\tilde{\varphi}_n$ trùng nhau trên $R^{p^n}$. b) Nếu R là hoàn hảo, tồn tại một phép nâng duy nhất $\varphi_n$ của $\overline{\varphi}$ lên $A/J_n$. Ta có $\varphi_n(1) = 1$ và $\varphi_n(xy) = \varphi_n(x) \varphi_n(y)$ với $x, y \in R$.