Exercice 1, § 3

Soient p un nombre premier, G le groupe libre à deux générateurs X et Y, $F_p[G]$ l’algèbre du groupe G sur $F_p$. On pose $Z = XY - YX$ et on note $\alpha$ l’idéal bilatère de $F_p[G]$ engendré par les éléments $ZX - XZ, ZY - YZ$ et $Z^2$. Posant $A = F_p[G]/\alpha$, on note $\mathfrak{z}$ l’idéal bilatère de A engendré par l’image de Z dans A (on notera encore X, Y, Z les images dans A de X, Y et Z). a) Soit $a$ un élément de A. Prouver qu’il existe deux familles à support fini d’éléments de $F_p$, soient $(p_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta) \in \mathbf{Z}^2}$ et $(q_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta) \in \mathbf{Z}^2}$, déterminées de manière unique par la condition

En déduire que l’algèbre quotient $A/\mathfrak{z}$ est commutative et intègre, et que l’idéal $\mathfrak{z}$ est contenu dans le centre de A. b) Pour tout couple $(a, b)$ d’éléments de A, il existe un élément c de A tel qu’on ait En déduire que l’ensemble $A^p$ des puissances $p$-ièmes des éléments de A est contenu dans le centre de A. c) La partie multiplicative $S = A - \mathfrak{z}$ de A permet un calcul de fractions à droite et à gauche (II, § 2, exerc. 22). On notera B l’anneau de fractions de A ainsi construit. (Pour vérifier par exemple que pour tout $a$ dans A et tout $s$ dans S, il existe $b \in A$ et $t \in S$ tels que $at = sb$, prendre $b = s^{p-1} a, t = s^p$ et utiliser $b$.) d) Prouver que l’application canonique de A dans B est injective. (Remarquer que le noyau de cette application est contenu dans $\mathfrak{z}$ et raisonner comme dans a.).

e) Le centre de B contient Z. Si m est l’idéal bilatère de B engendré par Z, on a $m^2 = 0$. f) L’idéal m est l’ensemble des éléments non-inversibles de B, et le corps B/m est isomorphe au corps $F_p(X, Y)$. g) Prouver qu’il n’existe pas de sous-corps de B dont l’image dans B/m soit tout B/m.

Dans les exerc. 2 à 5, les anneaux topologiques (commutatifs) sont supposés linéairement topologisés. Si A et B sont deux anneaux topologiques et que B est une A-algèbre, on dit que B est une A-algèbre topologique si l’homomorphisme de A dans B qui définit la structure d’algèbre est continu.