Bài tập 1, § 3

Cho p là một số nguyên tố, G là nhóm tự do trên hai phần tử sinh X và Y, $F_p[G]$ là đại số nhóm của G trên $F_p$. Đặt $Z = XY - YX$ và ký hiệu $\alpha$ là iđêan hai phía của $F_p[G]$ sinh bởi các phần tử $ZX - XZ, ZY - YZ$ và $Z^2$. Đặt $A = F_p[G]/\alpha$, ký hiệu $\mathfrak{z}$ là iđêan hai phía của A sinh bởi ảnh của Z trong A (các ảnh của X, Y và Z trong A sẽ lại được ký hiệu lần lượt là X, Y, Z). a) Cho $a$ là một phần tử của A. Chứng minh rằng tồn tại hai họ các phần tử của $F_p$ có giá hữu hạn, ký hiệu là $(p_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta) \in \mathbf{Z}^2}$ và $(q_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta) \in \mathbf{Z}^2}$, được xác định duy nhất bởi điều kiện

Suy ra rằng đại số thương $A/\mathfrak{z}$ là giao hoán và là một miền nguyên, và iđêan $\mathfrak{z}$ được chứa trong tâm của A. b) Với mọi cặp $(a, b)$ các phần tử của A, tồn tại một phần tử c của A sao cho Suy ra rằng tập hợp $A^p$ các lũy thừa p của các phần tử của A được chứa trong tâm của A. c) Tập con nhân $S = A - \mathfrak{z}$ của A thừa nhận một phép tính phân thức phải và trái (II, § 2, Bài tập 22). Ký hiệu B là vành các phân thức của A được xây dựng như vậy. (Để kiểm tra, chẳng hạn, rằng với mọi $a$ trong A và mọi $s$ trong S, tồn tại $b \in A$ và $t \in S$ sao cho $at = sb$, lấy $b = s^{p-1} a, t = s^p$ và dùng b).) d) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc từ A vào B là đơn ánh. (Nhận xét rằng hạt nhân của ánh xạ này được chứa trong $\mathfrak{z}$ và suy luận như trong a.). e) Tâm của B chứa Z. Nếu m là iđêan hai phía của B sinh bởi Z, ta có $m^2 = 0$. f) Iđêan m là tập hợp các phần tử không khả nghịch của B, và trường B/m đẳng cấu với trường $F_p(X, Y)$. g) Chứng minh rằng không tồn tại một trường con của B có ảnh trong B/m là toàn bộ B/m.

Trong các Bài tập 2 đến 5, các vành tôpô (giao hoán) được giả thiết là được trang bị tôpô tuyến tính. Nếu A và B là hai vành tôpô và B là một đại số trên A, người ta nói rằng B là một đại số tôpô trên A nếu đồng cấu từ A vào B xác định cấu trúc đại số là liên tục.