Exercice 6, § 3

Soient k un corps et K une extension de k. On suppose que K est une k-algèbre lisse. Soit $k'$ une extension algébrique de degré fini de k. a) L’anneau $K \otimes_k k'$ est produit d’un nombre fini d’anneaux locaux artiniens, qui sont des $k'$-algèbres lisses (utiliser l’exerc. 2, p. 76). b) L’anneau $K \otimes_k k'$ est réduit (utiliser l’exercice précédent). c) Le corps K est séparable sur k.