Exercice 24, § 4

Soient $A$ un anneau semi-local noethérien, $\hat{A}$ son complété, $x$ un élément non nul du radical de $A$. On suppose que $\mathrm{Ass}_A(A/xA)$ ne contient pas d’idéal premier immergé et que, pour tout $p \in \mathrm{Ass}_A(A/xA)$, l’anneau $A_p$ est régulier et l’anneau $\kappa(p) \otimes_A \hat{A}$ réduit. Alors $\hat{A}$ est réduit. (Raisonner comme dans la démonstration du th. 3, (i) $\Rightarrow$ (ii) du § 4, no 4.)

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