Exercice 27, § 1

Soient $A$ un anneau intègre intégralement clos mais non complètement intégralement clos, $K$ son corps des fractions; soit $a \neq 0$ un élément non inversible de $A$, pour lequel il existe $d \neq 0$ dans $A$ tel que $da^{-n} \in A$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Montrer que dans le corps des séries formelles $K((X))$, il existe une série formelle

vérifiant l’équation $(f(X))^2 - af(X) + X = 0$, donc entière sur $A[[X]]$, appartenant au corps des fractions de $A[[X]]$, mais n’appartenant pas à $A[[X]]$, de sorte que $A[[X]]$ n’est pas intégralement clos.