Exercice 12, § 2

Soient $K$ un corps, $K'$ une extension galoisienne de degré fini de $K$, $C$ l’anneau de polynômes $K'[X,Y]$, $B$ l’anneau quotient $C/CXY$, $x$ et $y$ les images canoniques de $X, Y$ dans $B$. Soient $A'$ le sous-anneau $K[x] + yK'[y]$ de $B$. Le groupe de Galois $\mathscr{G}$ de $K'$ sur $K$ opère fidèlement dans $A'$, l’anneau des invariants $A$ de $\mathscr{G}$ dans $A'$ étant $K[x, y]$. Soit $S$ l’ensemble des puissances de $x$ dans $A'$. Montrer que l’on a $S^{-1}A' = S^{-1}A$, et que $\mathscr{G}$ n’opère pas fidèlement dans $S^{-1}A'$.