Exercice 5, § 2

Soit K un corps; dans l’anneau intègre $K[X, Y]$ des polynômes à deux indéterminées sur K, on considère les sous-anneaux $A = K[X^4, Y^4], A' = K[X^4, X^3Y, XY^3, Y^4]$; A est noethérien et A’ une A-algèbre finie. Soit $p = AY^4$, qui est un idéal premier de A; montrer que $m = A'X^4 + A'X^3Y + A'XY^3 + A'Y^4$ est un idéal premier (immergé) associé à l’idéal $pA'$ de A’, mais n’est pas au-dessus de $p$ (noter que $m$ est l’annulateur de la classe de $X^2Y^6$ dans l’anneau $A'/pA'$) (cf. § 1, exerc. 26 d).