Exercice 6, § 2

Définir une suite croissante de corps de nombres algébriques $K_0 = \mathbf{Q}, K_1, ..., K_n, ...$ tels que, si on désigne par $A_n$ la fermeture intégrale de $\mathbf{Z}$ dans $K_n$, $p$ un nombre premier $\neq 2$, $K_n$ soit une extension quadratique de $K_{n-1}$ et qu’il existe dans $A_n$ un idéal premier $p_n$ au-dessus de ($p$) tel qu’il y ait dans $A_{n+1}$ deux idéaux premiers distincts $p_{n+1}, p'_{n+1}$ au-dessus de $p_n$ (observer que, dans un corps fini de caractéristique $\neq 2$, il y a toujours des éléments non carrés). Soient K la réunion des $K_n$, A’ la fermeture intégrale de $\mathbf{Z}$ dans K; montrer qu’il existe une infinité d’idéaux (maximaux) de A’ au-dessus de l’idéal maximal ($p$) de $\mathbf{Z}$.