Exercice 2, § 3

Soient $K$ un corps, $B$ le quotient de l’anneau de polynômes $K[X, Y]$ à deux indéterminées par l’idéal $a$ de $K[X, Y]$ engendré par $X^2$ et $XY$; on note $x$ et $y$ les images dans $B$ des éléments $X, Y$; soit $A$ le sous-anneau $K[x]$ de $B$. Montrer que les éléments $x$ et $y^n$ ($n \geq 0$) forment une base de $B$ sur $K$ et que $B$ n’est pas entier sur $A$. D’autre part, il n’existe dans $B$ aucun élément algébriquement libre sur $A$. En déduire un contre-exemple au cor. 1 du th. 1 du no 1 lorsque $A$ n’est pas intègre.