Exercice 8, § 3

Soit $A$ un anneau. Pour que $A$ soit un anneau de Jacobson, il faut et il suffit que, pour tout idéal maximal $m'$ de l’anneau de polynômes $A[X]$, $m' \cap A$ soit un idéal maximal de $A$. (Remarquer que si un anneau intègre $B$ admet un radical $\mathscr{R} \neq 0$ et si $b \in \mathscr{R}$, $b \neq 0$, l’intersection de $B$ et d’un idéal maximal de $B[X]$ contenant $1 + bX$ ne peut contenir $b$.)