Exercice 1, § 1

Soient K un corps; pour tout sous-anneau A de K, on désigne par L(A) l’ensemble des anneaux locaux $A_p$ de A pour les idéaux premiers $p$ de A (ces anneaux locaux étant identifiés à des sous-anneaux de K).

a) Pour qu’un sous-anneau local M de K domine un anneau $A_p \in L(A)$, il faut et il suffit que $A \subset M$; l’anneau local $A_p$ dominé par M est alors unique et correspond à l’idéal premier $p = m(M) \cap A$.

b) Soient M, N deux sous-anneaux locaux de K, P le sous-anneau de K engendré par $M \cup N$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha$ Il existe un idéal premier $p$ de P tel que $m(M) = p \cap M$, $m(N) = p \cap N$.

$\beta$ L’idéal $a$ engendré dans P par $m(M) \cup m(N)$ est distinct de P.

$\gamma$ Il existe un sous-anneau local Q de K dominant à la fois M et N.

Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que M et N sont apparentés.

c) Soient A, B deux sous-anneaux de K, C le sous-anneau de K engendré par $A \cup B$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha$ Pour tout anneau local $Q \subset K$ contenant A et B, on a $A_p = B_q$, avec $p = m(Q) \cap A$, $q = m(Q) \cap B$.

$\beta$ Pour tout idéal premier r de C, on a $A_p = B_q$, où $p = r \cap A$, $q = r \cap B$.

$\gamma$ Si $M \in L(A)$ et $N \in L(B)$ sont apparentés, ils sont identiques.

$\delta$ On a $L(A) \cap L(B) = L(C)$. (Utiliser $a$ et $b$).