Bài tập 1, § 1

Cho $K$ là một trường; với mỗi vành con $A$ của $K$, ký hiệu $L(A)$ là tập hợp các vành địa phương $A$, của $A$ trong đó $p$ chạy qua các iđêan nguyên tố của $A$ (các vành địa phương này được đồng nhất với các vành con của $K$).

(a) Để một vành con địa phương $M$ của $K$ trội một vành $A, \in L(A)$, điều kiện cần và đủ là $A \subset M$; khi đó vành địa phương $A$, bị $M$ trội, là duy nhất và tương ứng với iđêan nguyên tố $p = m(M) \cap A$.

(b) Cho $M, N$ là hai vành con địa phương của $K$ và $P$ là vành con của $K$ sinh bởi $M \cup N$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

$(a)$ Tồn tại một iđêan nguyên tố $p$ của $P$ sao cho $m(M) = p \cap M, m(N) = p \cap N$.

$(\beta)$ Iđêan $a$ được sinh trong $P$ bởi $m(M) \cup m(N)$ là phân biệt với $P$.

$(\gamma)$ Tồn tại một vành con địa phương $Q$ của $K$ trội cả $M$ lẫn $N$.

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, $M$ và $N$ được gọi là liên quan.

(c) Cho $A, B$ là hai vành con của $K$ và $C$ là vành con của $K$ sinh bởi $A \cup B$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

$(a)$ Với mọi vành địa phương $Q \subset K$ chứa $A$ và $B$, $A_1 = B_1$, trong đó $p = m(Q) \cap A, q = m(Q) \cap B$.

$(\beta)$ Với mọi iđêan nguyên tố $r$ của $C$, $A_r = B_r$, trong đó $p = r \cap A, q = r \cap B$.

$(\gamma)$ Nếu $M \in L(A)$ và $N \in L(B)$ có liên quan, chúng là đồng nhất.

$(\delta)$ $L(A) \cap L(B) = L(C)$.

(Dùng (a) và (b)).