Exercice 7, § 1

Soit R un anneau. On dit qu’un couple $(A, \mathfrak{p})$ formé d’un sous-anneau A de R et d’un idéal premier $\mathfrak{p}$ de A est maximal pour R s’il n’existe aucun couple $(A', \mathfrak{p}')$ formé d’un sous-anneau $A'$ de R et d’un idéal premier $\mathfrak{p}'$ de $A'$ tels que $A \subset A'$, $A' \neq A$ et $\mathfrak{p}' \cap A = \mathfrak{p}$.

a) Pour tout sous-anneau B de R et tout idéal premier q de B, il existe un couple $(A, \mathfrak{p})$ maximal pour R tel que $A \supset B$ et $q = \mathfrak{p} \cap B$.

b) Pour qu’un couple $(A, \mathfrak{p})$ soit maximal pour R, il faut et il suffit que, pour tout $s \in R - A$, il existe une famille finie d’éléments $c_i \in \mathfrak{p} \quad (1 \leq i \leq n)$ tels que l’élément $b = c_1 s + c_2 s^2 + \cdots + c_n s^n$ appartienne à $A - \mathfrak{p}$ (utiliser le chap. II, § 2, no 5, cor. 3 de la prop. 11).

c) Montrer que si le couple $(A, \mathfrak{p})$ est maximal pour R, le produit de deux éléments de $R - A$ appartient à $R - A$. (Si $s, s'$ sont dans $R - A$ et $ss' = a \in A$, considérer les plus petits entiers $n, m$ tels qu’il existe des $c_i \in \mathfrak{p} \quad (1 \leq i \leq n)$ pour lesquels $b = \sum_{i} c_i s^i \in A - \mathfrak{p}$ et des $c'_j \in \mathfrak{p} \quad (1 \leq j \leq m)$ pour lesquels $b' = \sum_{j} c'_j {s'}^j \in A - \mathfrak{p}$; en supposant par exemple $n \geq m$, considérer le produit $bb' \in A - \mathfrak{p}$ et obtenir une contradiction avec la définition de l’entier $n$).

d) Sous les hypothèses de c), posons $S = R - A$; montrer que l’idéal $\mathfrak{p}_1$ de A, formé des $a \in A$ tels qu’il existe un $s \in S$ pour lequel $sa \in A$, est contenu dans $\mathfrak{p}$ (utiliser b)). A fortiori l’idéal $\mathfrak{p}_0$ de A, formé des $a \in A$ tels que $sa \in A$ pour tout $s \in S$, est contenu dans $\mathfrak{p}$ (exerc. 6 b)). On pose $A' = A / \mathfrak{p}_0$, $\mathfrak{p}' = \mathfrak{p} / \mathfrak{p}_0$, $R' = R / \mathfrak{p}_0$; le couple $(A', \mathfrak{p}')$ est alors maximal pour l’anneau intègre $R'$ et, pour tout $a' \in A'$ non nul, il existe $s' \in S' = R' - A'$ tel que $s'a' \in S'$.

e) Soit $(A, \mathfrak{p})$ un couple maximal pour un anneau intègre R, tel que, pour tout $a \in A$ non nul, il existe $s \in S = R - A$ tel que $sa \in S$.

On pose $S_0 = S \cup \{1\}$, et l’on désigne par $R_0$ l’anneau de fractions $S_0^{-1}R$; l’homomorphisme canonique $R \to R_0$ est injectif et identifié donc $R$ à un sous-anneau de $R_0$. Montrer que $R_0$ est un corps, identifié au corps des fractions de $R$. Soit $(B, q)$ un couple maximal pour $R_0$ tel que $B \supseteq A$ et $q \cap A = \mathfrak{p}$. Montrer que $B \cap R = A$; autrement dit, $A$ est l’intersection de $R$ et d’un anneau de valuation pour $R_0$ et $\mathfrak{p}$ l’intersection de $A$ et de l’idéal maximal de cet anneau de valuation.

f) Soient $K_0$ un corps, $A_0$ l’anneau de polynômes $K_0[X]$, $B$ l’anneau de séries formelles $A_0[[Y]]$, $R$ l’anneau de fractions $B_Y$, formé des séries formelles $Y^{-h}f(Y)$, où $f \in B$ et $h \geqslant 0$. Soient $\mathfrak{p}$ l’idéal premier $YB$ des séries formelles sans terme constant, $A = K_0 + \mathfrak{p}$, qui est un sous-anneau de $B$. Montrer que $A$ est l’intersection de $R$ et d’un anneau de valuation $C$ pour le corps des fractions $K$ de $R$, et $\mathfrak{p}$ l’intersection de $A$ et de l’idéal maximal de $C$; en outre, le corps des fractions de $A$ est égal à celui de $R$, et tout $a \neq 0$ dans $A$ est de la forme $s^{-1}s'$, où $s, s'$ sont dans $S = R - A$. Cependant, le couple $(A, \mathfrak{p})$ n’est pas maximal pour $R$.