Bài tập 7, § 1

Cho R là một vành. Một cặp có thứ tự (A, p) gồm một vành con A của R và một iđêan nguyên tố p của A được gọi là cực đại trong R nếu không tồn tại cặp có thứ tự (A', p') gồm một vành con A' của R và một iđêan nguyên tố p' của A' sao cho $A \subset A', A' \neq A$ và $p' \cap A = p$.

(a) Với mọi vành con B của R và mọi iđêan nguyên tố q của B, tồn tại một cặp có thứ tự (A, p), cực đại trong R, sao cho $A \supset B$ và $q = p \cap B$.

(b) Để một cặp có thứ tự (A, p) là cực đại trong R, điều kiện cần và đủ là, với mọi $s \in R - A$, tồn tại một họ hữu hạn các phần tử $c_i \in p$ ($1 \leq i \leq n$) sao cho phần tử $b = c_1 s + c_2 s^2 + \ldots + c_n s^n$ thuộc $A - p$ (sử dụng Chương 11, § 2, no. 5, Hệ quả 3 của Mệnh đề 11).

(c) Chứng minh rằng, nếu cặp có thứ tự (A, p) là cực đại trong R, thì tích của hai phần tử của $R - A$ thuộc $R - A$. (Nếu s, s' thuộc $R - A$ và $ss' = a \in A$, xét các số nguyên nhỏ nhất $n, m$ sao cho tồn tại $c_i \in p$ ($1 \leq i \leq n$) mà $b = \sum_i c_i s^i \in A - p$ và $c'_j \in p$ ($1 \leq j \leq m$) mà

giả sử chẳng hạn $n \geq m$, xét tích $bb' \in A - p$ và thu được một mâu thuẫn từ định nghĩa của số nguyên $n$.)

(d) Dưới các giả thiết của (c), ta viết $S = R - A$; chứng minh rằng iđêan $p_1$ của A gồm các $a \in A$ sao cho tồn tại $s \in S$ mà $sa \in A$ được chứa trong p (sử dụng (b)). A fortiori iđêan $p_0$ của A gồm các $a \in A$ sao cho $sa \in A$ với mọi $s \in S$ được chứa trong p (Bài tập 6 (b)). Ta viết $A' = A/p_0, p' = p/p_0$ và $R' = R/p_0$; khi đó cặp có thứ tự (A', p') là cực đại trong miền nguyên $R$ và, với mọi phần tử khác không $a' \in A'$, tồn tại $s' \in S' = R' - A'$ sao cho $s'a' \in S'$.

(e) Cho $(A, p)$ là một cặp có thứ tự cực đại trong miền nguyên $R$ sao cho, với mọi $a \in A$ khác không, tồn tại $s \in S = R - A$ sao cho $sa \in S$. Ta viết $S_0 = S \cup \{1\}$ và ký hiệu bởi $R$, vành phân thức $S_0^{-1}R$; đồng cấu chính tắc $R \to R$, là đơn ánh và do đó đồng nhất $R$ với một vành con của $R_0$. Chứng minh rằng $R$, là một trường được đồng nhất với trường phân thức của $R$. Cho $(B, q)$ là một cặp có thứ tự cực đại trong $R_0$ sao cho $B \supseteq A$ và $q \cap A = p$. Chứng minh rằng $B \cap R = A$; nói cách khác, $A$ là giao của $R$ và một vành định giá của $R$, và $p$ là giao của $A$ và iđêan cực đại của vành định giá này.

(f) Cho $K_0$ là một trường, $A$, vành đa thức $K_0[X]$, $B$ là vành chuỗi lũy thừa hình thức $A_0[[Y]]$ và $R$ là vành phân thức $B_Y$ gồm các chuỗi lũy thừa hình thức $Y^{-h}f(Y)$, trong đó $f \in B$ và $h \geq 0$. Cho $P$ là iđêan nguyên tố $YB$ của các chuỗi lũy thừa hình thức không có số hạng hằng, $A = K_0 + p$, là một vành con của $B$. Chứng minh rằng $A$ là giao của $R$ và một vành định giá $C$ của trường phân thức $K$ của $R$ và $p$ là giao của $A$ và iđêan cực đại của $C$; hơn nữa, trường phân thức của $A$ bằng trường phân thức của $R$ và mọi $a \neq 0$ trong $A$ đều có dạng $s^{-1}s'$, trong đó $s, s'$ thuộc $S = R - A$. Tuy nhiên, cặp có thứ tự $(A, p)$ không cực đại trong $R$.