Exercice 8, § 1

Étant donné un anneau $A$, on dit qu’un polynôme $P(X_1, \ldots, X_n)$ à coefficients dans $A$ est dominé s’il est de la forme $X^\alpha + \sum_\beta c_\beta X^\beta$, avec $\beta < \alpha$ dans l’ensemble ordonné produit $\mathbf{N}^n$ pour tous les $\beta$ tels que $c_\beta \neq 0$. On dit que, dans un anneau $R$, un sous-anneau $A$ est paravaluatif si, pour tout polynôme dominé $P \in A[X_1, \ldots, X_n]$ ($n$ quelconque), on a $P(s_1, \ldots, s_n) \neq 0$ quels que soient les éléments $s_i \in R - A$ ($1 \leqslant i \leqslant n$).

a) Montrer que si $A$ est paravaluatif dans $R$, le produit de deux éléments de $S = R - A$ appartient à $S$.

b) Soit $A$ un sous-anneau d’un anneau $R$ tel que le produit de deux éléments de $S = R - A$ appartienne à $S$; soit $\mathfrak{p}_0$ l’idéal premier de $A$ et de $R$ formé des $a \in A$ tels que $sa \in A$ pour tout $s \in S$ (exerc. 6 b)). Pour que $A$ soit paravaluatif dans $R$, il faut et il suffit que $A/\mathfrak{p}_0$ soit paravaluatif dans $R/\mathfrak{p}_0$.

c) Soient $R$ un anneau, $h : R \to R'$ un homomorphisme d’anneaux. Si $A'$ est un sous-anneau paravaluatif dans $R'$, $A = h^{-1}(A')$ est paravaluatif dans $R$. En déduire que si $(A, \mathfrak{p})$ est un couple maximal pour $R$ (exerc. 7), $A$ est paravaluatif dans $R$ (utiliser b) et l’exerc. 7 d) et e)).

d) Soient $R'$ un anneau, $R$ un sous-anneau de $R'$. Si $A$ est un sous-anneau paravaluatif de $R$, montrer qu’il existe un sous-anneau $A'$ paravaluatif dans $R'$ tel que $A' \cap R = A$. (Si $S = R - A$, et $S_0 = S \cup \{1\}$, considérer l’anneau $T' = S_0^{-1}R'$ et l’homomorphisme canonique $h : R' \to T'$. Soient $B$ le sous-anneau de $T'$ engendré par $h(A) \cup (h(S))^{-1}$ et $\mathfrak{b}$ l’idéal de $B$ engendré par $(h(S))^{-1}$. Montrer que $\mathfrak{b} \neq B$; considérer un couple maximal $(A'', \mathfrak{p}'')$ pour $T'$ tel que $B \subset A''$ et $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{p}''$, et prendre $A' = h^{-1}(A'')$).

Conclure de là que si $R$ est un anneau intègre, les sous-anneaux paravaluatifs de $R$ sont les intersections de $R$ et des anneaux de valuation pour le corps des fractions de $R$.