Bài tập 8, § 1

Cho một vành $A$, người ta nói rằng một đa thức $P(X_1, \ldots, X_n)$ với các hệ số trong $A$ là trội nếu nó có dạng $X^\alpha + \sum_\beta c_\beta X^\beta$, với $\beta < \alpha$ trong tập hợp tích có thứ tự $\mathbf{N}^n$ đối với mọi $\beta$ sao cho $c_\beta \neq 0$. Người ta nói rằng, trong một vành $R$, một vành con $A$ là paravaluative nếu, đối với mọi đa thức trội $P \in A[X_1, \ldots, X_n]$ ($n$ tùy ý), ta có $P(s_1, \ldots, s_n) \neq 0$ bất kể các phần tử $s_i \in R - A$ có thể là gì ($1 \leqslant i \leqslant n$).

a) Bây giờ chứng minh rằng nếu $A$ là paravaluative trong $R$, tích của hai phần tử của $S = R - A$ thuộc về $S$.

b) Cho $A$ là một vành con của một vành $R$ sao cho tích của hai phần tử của $S = R - A$ thuộc về $S$; cho $\mathfrak{p}_0$ là iđêan nguyên tố của $A$ và của $R$ được tạo thành bởi các $a \in A$ sao cho $sa \in A$ đối với mọi $s \in S$ (bài tập 6 b)). Để $A$ là paravaluative trong $R$, điều kiện cần và đủ là $A/\mathfrak{p}_0$ là paravaluative trong $R/\mathfrak{p}_0$.

c) Cho $R$ là một vành, $h : R \to R'$ là một đồng cấu của các vành. Nếu $A'$ là một vành con paravaluative trong $R'$, $A = h^{-1}(A')$ là paravaluative trong $R$. Suy ra rằng nếu $(A, \mathfrak{p})$ là một cặp cực đại đối với $R$ (bài tập 7), thì $A$ là paravaluative trong $R$ (dùng b) và bài tập 7 d) và e)).

d) Cho $R'$ là một vành, $R$ là một vành con của $R'$. Nếu $A$ là một vành con paravaluative của $R$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một vành con paravaluative $A'$ trong $R'$ sao cho $A' \cap R = A$. (Nếu $S = R - A$, và $S_0 = S \cup \{1\}$, xét vành $T' = S_0^{-1}R'$ và đồng cấu chính tắc $h : R' \to T'$. Gọi $B$ là vành con của $T'$ sinh bởi $h(A) \cup (h(S))^{-1}$ và $\mathfrak{b}$ là iđêan của $B$ sinh bởi $(h(S))^{-1}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{b} \neq B$; xét một cặp cực đại $(A'', \mathfrak{p}'')$ của $T'$ sao cho $B \subset A''$ và $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{p}''$, và lấy $A' = h^{-1}(A'')$).

Kết luận từ đó rằng nếu $R$ là một vành nguyên, các vành con paravaluative của $R$ là các giao của $R$ và các vành định giá của trường phân thức của $R$.