Exercice 1, § 10

Soient K un corps, P le sous-corps premier de K; on appelle dimension absolue de K, le nombre dim.al_PK si P est de caractéristique $p > 0$, et le nombre dim.al_PK + 1 si P est de caractéristique 0. Soient $v$ une valuation sur K, h sa hauteur, r son rang rationnel, k son corps résiduel.

a) Supposons que la dimension absolue n de K soit finie. Alors, si s est la dimension absolue de k, on a $r + s \leq n$.

b) Supposons en outre que K soit une extension de type fini de P. Alors, si $r + s = n$, k est une extension de type fini de son corps premier et le groupe des ordres de $v$ est isomorphe à $\mathbf{Z}^r$; si $h + s = n$, k est une extension de type fini de son corps premier et le groupe des ordres de $v$ est isomorphe à $\mathbf{Z}^r$ ordonné lexicographiquement; enfin, si $s = n - 1$, $v$ est une valuation discrète et k est une extension de type fini de son corps premier.