Bài tập 1, § 10

Cho $\mathbf{K}$ là một trường và P là trường con nguyên tố của $\mathbf{K}$; chiều tuyệt đối của K là số dim.al, K nếu P có đặc số $p > 0$ và là số dim.al_p K + 1 nếu P có đặc số 0. Cho $v$ là một định giá trên $\mathbf{K}$, chiều cao của nó, $r$ là hạng hữu tỉ của nó và $k$ là trường thặng dư của nó.

(a) Giả sử rằng chiều tuyệt đối $n$ của $K$ là hữu hạn. Khi đó, nếu $s$ là chiều tuyệt đối $k, r + s \leq n$.

(b) Giả sử thêm rằng $K$ là một mở rộng sinh hữu hạn của $P$. Khi đó, nếu $r + s = n, k$ là một mở rộng sinh hữu hạn của trường nguyên tố của nó và nhóm cấp của $v$ là đẳng cấu với $\mathbf{Z}^r$; nếu $h + s = n, k$ là một mở rộng sinh hữu hạn của trường nguyên tố của nó và nhóm cấp của $v$ là đẳng cấu với $\mathbf{Z}^r$ có thứ tự từ điển; cuối cùng, nếu $s = n - 1, v$ là một định giá rời rạc và $k$ là một mở rộng sinh hữu hạn của trường nguyên tố của nó.