Exercice 2, § 10

Soient K un corps, $v$ une valuation sur K, L une extension de K, $v'$ une valuation sur L prolongeant $v$; on dit que L est une extension immédiate (pour $v'$) si l’on a $e(v'/v) = f(v'/v) = 1$. Le complété $\hat{K}$ de K est une extension immédiate de K.

a) Pour que L soit une extension immédiate de K, il faut et il suffit que pour tout $x \in L - K$, il existe $y \in K$ tel que $v'(x - y) > v'(x)$.

b) Pour tout corps $K$, montrer qu’il existe une extension immédiate maximale $L$ de $K$, c’est-à-dire n’admettant aucune extension immédiate distincte d’elle-même (utiliser le , exerc. 3 b))

c) Montrer que si $K$ est linéairement compact pour la topologie définie par $v$, il n’admet pas d’extension immédiate autre que lui-même (utiliser $a$), en notant qu’avec les notations de $a$, l’ensemble des $v'(x - y)$ pour $y \in K$ n’a pas de plus grand élément dans le groupe des valeurs de $v'$.

d) Supposons que $K$ ne soit pas linéairement compact; soient $B$ une partie bien ordonnée du groupe des ordres de $v$ et $(a_\beta)_{\beta \in B}$ une famille d’éléments de $K$ telle que pour $\lambda < \mu < v$, on ait

mais qu’il n’existe aucun $x \in K$ tel que $v(x - a_\lambda) = v(a_\lambda - a_\mu)$ pour tout couple $(\lambda, \mu)$ tel que $\lambda < \mu$. Pour toute extension $E$ de $K$ et tout prolongement $w$ de $v$ à $E$, désignons par $D_E(\lambda)$ l’ensemble des $z \in E$ tels que $v(z - a_\lambda) \geq \gamma_\lambda$, où $\gamma_\lambda$ est la valeur commune des $v(a_\lambda - a_\mu)$ pour $\lambda < \mu$; l’hypothèse est donc que $\bigcap_{\beta \in B} D_K(\beta) = \varnothing$ ($§ 5$, exerc. 5 a)). Soit $\Omega$ une clôture algébrique de $K$ et soit $v_0$ un prolongement de $v$ à $\Omega$; montrer que si $P$ est un polynôme de $K[X]$, pour qu’il existe $\lambda \in B$ tel que $v(P(a_\mu)) = v(P(a_\lambda))$ pour tout $\lambda \leq \mu$, il faut et il suffit qu’aucun zéro de $P$ dans $\Omega$ n’appartienne à $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta)$. Si $P$ possède cette propriété et si $E$ et $w$ ont les mêmes significations que ci-dessus, montrer que, pour tout $z \in \bigcap_{\beta \in B} D_E(\beta)$, on a $w(P(z) - P(a_\mu)) > w(P(z)) = v(P(a_\mu))$ dès que $\mu$ est assez grand (décomposer $P(X)$ en facteurs dans $\Omega[X]$). En déduire que l’on a une des deux situations suivantes :

1° Ou bien $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta) \neq \varnothing$, et si $\theta$ est un élément de cette intersection dont le degré sur $K$ est le plus petit possible, $K(\theta)$ est une extension immédiate de $K$ distincte de $K$.

2°) Ou bien $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta) = \varnothing$; il y a alors une valuation $v'$ de $K(X)$ prolongeant $v$ et telle que $v(P(X)) = v(P(a_\mu))$ pour $\mu$ assez grand, et $K(X)$, muni de $v'$, est une extension immédiate de $K$ (utiliser le critère de $a$).

e) Déduire de c) et d) que pour que $K$ soit linéairement compact, il faut et il suffit que $K$ ne possède aucune extension immédiate autre que $K$.