Bài tập 2, § 10

Cho $K$ là một trường, $v$ là một định giá trên $K$, $L$ là một mở rộng của $K$ và $v'$ là một định giá trên $L$ mở rộng $v$; $L$ được gọi là một mở rộng ngay lập tức (đối với $u'$) nếu $e(v'/v) = f(v'/v) = 1$. Bao hoàn thành $\hat{K}$ của $K$ là một mở rộng ngay lập tức của $K$.

(a) Để $L$ là một mở rộng ngay lập tức của $K$, điều kiện cần và đủ là, với mọi $x \in L - K$, tồn tại $y \in K$ sao cho $v'(x - y) > v'(x)$.

(b) Với mọi trường $K$, chứng minh rằng tồn tại một mở rộng ngay lập tức cực đại $L$ của $K$, nghĩa là không thừa nhận một mở rộng ngay lập tức phân biệt với chính nó (dùng § 3, Bài tập 3 (b)).

(c) Chứng minh rằng, nếu $K$ là compact tuyến tính với tôpô được xác định bởi $v$, thì nó không thừa nhận một mở rộng ngay lập tức nào khác ngoài chính nó (dùng (a), lưu ý rằng, trong ký hiệu của (a), tập hợp các $v'(x - y)$ với $y \in K$ không có phần tử lớn nhất trong nhóm giá trị của $v'$).

(d) Giả sử rằng $K$ không compact tuyến tính; hãy lấy $B$ là một tập con sắp tốt của nhóm cấp của $v$ và $(a_\beta)_{\beta \in B}$ là một họ các phần tử của $K$ sao cho, với $\lambda < \mu < v$,

nhưng không tồn tại $x \in K$ sao cho $v(x - a_\lambda) = v(a_\lambda - a_\gamma)$ với mọi cặp có thứ tự $(\lambda, \mu)$ sao cho $\lambda < \mu$. Với mọi mở rộng $E$ của $K$ và mọi mở rộng $w$ của $v$ lên $E$, ký hiệu $D_E(\lambda)$ là tập hợp các $z \in E$ sao cho $v(z - a_\lambda) \geq \gamma_\lambda$, trong đó $\gamma_\lambda$ là giá trị chung của các $v(a_\lambda - a_\gamma)$ đối với $\lambda < \mu$; do đó giả thiết là $\bigcap_{\beta \in B} D_K(\beta) = \varnothing$ (§ 5, Bài tập 5 (a)). Gọi $\Omega$ là một bao đóng đại số của $K$ và gọi $v_0$ là một mở rộng của $v$ lên $\Omega$; hãy chứng minh rằng, nếu $P$ là một đa thức trong $K[X]$, để tồn tại $A \in B$ sao cho $v(P(a_\mu)) = v(P(a_\lambda))$ với mọi $\lambda \leq \mu$, thì điều kiện cần và đủ là không có không nào của $P$ trong $\Omega$ thuộc vào $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta)$. Nếu $P$ có tính chất này và $E$ và $w$ có cùng ý nghĩa như trên, hãy chứng minh rằng, với mọi $z \in \bigcap_{\beta \in B} D_E(\beta)$, $w(P(z) - P(a_\mu)) > w(P(z)) = v(P(a_\mu))$ miễn là $\mu$ đủ lớn (phân tích $P(X)$ thành các thừa số trong $\Omega[X]$). Suy ra rằng một trong các tình huống sau xảy ra:

(1) Hoặc là $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta) \neq \varnothing$ và, nếu $\theta$ là một phần tử của giao này có bậc trên $K$ nhỏ nhất có thể, thì $K(\theta)$ là một mở rộng ngay lập tức của $K$ phân biệt với $K$.

sao cho $\bigcap_{\mu} D_\alpha(\beta) = \varnothing$; khi đó tồn tại một định giá $v'$ trên $K(X)$ mở rộng $v$ là một mở rộng ngay lập tức của $K$ (sử dụng tiêu chuẩn trong (a)).

(e) Suy ra từ (c) và (d) rằng để $K$ là compact tuyến tính, điều kiện cần và đủ là $K$ không có mở rộng ngay lập tức nào khác ngoài chính nó.