Exercice 1, § 2

Soient $\Omega$ une extension d’un corps K, E et F deux extensions de K contenues dans $\Omega$ et linéairement disjointes sur K, L une extension de K contenue dans E. Soit $f$ une place de E à valeurs dans L, qui se réduit à l’automorphisme identique dans K. Montrer qu’il existe une place de $K(E \cup F)$ et une seule à valeurs dans $K(L \cup F)$, prolongeant $f$ et se réduisant à l’automorphisme identique dans F. (Si A est l’anneau de $f$, observer que $f$ se prolonge d’une seule manière en un homomorphisme $g$ de $F[A]$ dans $K(L \cup F)$ se réduisant à l’identité dans F, et que si m est l’idéal de $f$, tout élément $z \in F[A]$ tel que $g(z) = 0$ peut s’écrire $xu$, où $x \in m, u \in F[A]$ et $g(u) \neq 0$. Conclure en remarquant que $K(E \cup F)$ est le corps des fractions de $F[A]$.)