Bài tập 1, § 2

Cho $\Omega$ là một mở rộng của một trường $K$, $E$ và $F$ là hai mở rộng của $K$ được chứa trong $\Omega$ và rời nhau tuyến tính trên $K$ và $L$ là một mở rộng của $K$ được chứa trong $E$. Cho $f$ là một vị trí của $E$ với các giá trị trong $L$, quy về tự đẳng cấu đồng nhất trên $K$. Hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất một vị trí của $K(E \cup F)$ với các giá trị trong $K(L \cup F)$, mở rộng $f$ và quy về tự đẳng cấu đồng nhất trên $F$. (Nếu $A$ là vành của $f$, chú ý rằng $f$ có thể được mở rộng duy nhất thành một đồng cấu $g$ từ $F[A]$ vào $K(L \cup F)$ quy về đồng nhất trên $F$ và rằng, nếu $m$ là iđêan của $f$, mọi phần tử $z \in F[A]$ sao cho $g(z) = 0$ có thể được viết dưới dạng $xu$, trong đó $x \in m$, $u \in F[A]$ và $g(u) \neq 0$. Kết luận bằng cách chú ý rằng $K(E \cup F)$ là trường các phân thức của $F[A]$.)