Exercice 1, § 4

a) Soient $G$ un groupe totalement ordonné, $M$ un ensemble majeur dans $G_+$ ne contenant pas 0. Montrer qu’il existe un plus grand sous-groupe isolé $H$ de $G$ ne rencontrant pas $M$.

b) Soient $A$ un anneau de valuation, $v$ une valuation associée à $A$. Pour qu’un idéal $\mathfrak{p} \neq 0$ de $A$ soit premier, il faut et il suffit que $\mathfrak{p}$ corresponde à un ensemble majeur $M$ dans le groupe totalement ordonné $G$ des valeurs de $v$ tel que, si $H$ est le plus grand sous-groupe isolé de $G$ ne rencontrant pas $M$, $M$ soit le complémentaire de $H_+$ dans $G_+$.

c) Avec les notations de b), pour qu’un idéal $q$ de $A$ soit $\mathfrak{p}$-primaire, il faut et il suffit qu’il vérifie une des conditions suivantes : ou bien $H = \{0\}$ (et $\mathfrak{p}$ est alors maximal), ou bien $q = \mathfrak{p}$.

d) Pour qu’un idéal $a$ de $A$, distinct de $0$ et de $A$, soit tel que $a^2 = a$, il faut et il suffit que $a$ corresponde à un ensemble majeur $M$ tel que si $H$ est le plus grand sous-groupe isolé de $G$ ne rencontrant pas $M$, l’image $M'$ de $M$ dans le groupe totalement ordonné $G' = G/H$ n’ait pas de plus petit élément ; $a$ est alors un idéal premier.