Bài tập 1, § 4

(a) Cho G là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần và M là một tập hợp lớn trong G, không chứa 0. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm con cô lập lớn nhất H của G không gặp M.

(b) Cho A là một vành định giá và $v$ là một định giá liên kết với A. Để một iđêan $\varrho \neq 0$ của A là nguyên tố, điều kiện cần và đủ là p tương ứng với một tập hợp lớn M trong nhóm giá trị được sắp thứ tự toàn phần G của $v$ sao cho, nếu H là nhóm con cô lập lớn nhất của G không gặp M, thì M là phần bù của $H_+$ trong G,.

(c) Với ký hiệu của (b), để một iđêan q của A là nguyên sơ p, điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: hoặc là $H = \{0\}$ (và khi đó p là cực đại) hoặc là $q = \varrho$.

(d) Đối với một iđêan a của A phân biệt với 0 và A, để thỏa mãn $a^2 = a$, điều kiện cần và đủ là a tương ứng với một tập hợp lớn M sao cho, nếu H là nhóm con cô lập lớn nhất của G không gặp M, ảnh $M'$ của M trong nhóm được sắp thứ tự toàn phần $G' = G/H$ không có phần tử nhỏ nhất; khi đó a là một iđêan nguyên tố.