Exercice 10, § 4

Soit A un anneau dans lequel l’ensemble des idéaux principaux est totalement ordonné par inclusion.

a) Montrer que A est un anneau local, dans lequel le nilradical $\mathfrak{N}$ est un idéal premier. Montrer que, ou bien $\mathfrak{N}^2 = \mathfrak{N}$, ou bien $\mathfrak{N}$ est nilpotent; l’anneau $A/\mathfrak{N}$ est un anneau de valuation.

b) Si $\mathscr{E}$ est l’ensemble totalement ordonné des idéaux principaux de A, montrer que l’ensemble des idéaux de A est totalement ordonné par inclusion et est isomorphe à l’achèvement de l’ensemble $\mathscr{E}$ (Ens., chap. III, § 1, exerc. 15).

c) On suppose que $\mathfrak{N}^2 = 0$; alors $\mathfrak{N}$ peut être considéré comme module sur l’anneau de valuation $V = A/\mathfrak{N}$; soient K le corps des fractions de V, $\Gamma$ le groupe des ordres d’une valuation $v$ de K correspondant à V; montrer qu’il existe dans $\Gamma$ deux ensembles majeurs $M \subset M'$ tels que $\mathfrak{N}$ soit un V-module isomorphe à $a(M')/a(M)$ (notations du § 3, no 4).

d) Réciproquement, étant donnés un anneau de valuation V de corps des fractions K et de groupe des ordres $\Gamma$, ainsi que deux ensembles majeurs $M \subset M'$ dans $\Gamma$, on pose $Q = a(M')/a(M)$ et sur le groupe additif produit $A = V \times Q$, on définit une multiplication en posant

montrer que dans $A$ l’ensemble des idéaux principaux est totalement ordonné par inclusion; l’ensemble $\mathfrak{N}$ des couples $(0, t)$ où $t \in \mathbf{Q}$ est le nilradical de $A$, on a $\mathfrak{N}^2 = 0$, et $A/\mathfrak{N}$ est isomorphe à $V$.

e) Pour tout nombre premier $p$, l’anneau $A = \mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z}$ est tel que l’ensemble des idéaux principaux de $A$ soit totalement ordonné par inclusion, et le nilradical $\mathfrak{N}$ de $A$ est tel que $\mathfrak{N}^2 = 0$; mais montrer que l’anneau $A$ n’est pas isomorphe à l’anneau construit (à partir de $V = A/\mathfrak{N}$ et de $Q = \mathfrak{N}$) suivant la méthode de d) (noter que $A$ ne contient pas de sous-anneau isomorphe à $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$).

f) Montrer que pour tout nombre premier $p$, l’algèbre $A$ du groupe $U_p$ ($Alg.$, chap. VII, § 2, exerc. 3) par rapport au corps premier $\mathbf{F}_p$, est un anneau dans lequel les idéaux principaux forment un ensemble totalement ordonné par inclusion et le nilradical $\mathfrak{N}$ est tel que $\mathfrak{N}^2 = \mathfrak{N}$, mais $A$ n’est pas isomorphe au quotient d’un anneau de valuation par un idéal.