Bài tập 10, § 4

Cho $A$ là một vành trong đó tập hợp các iđêan chính được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm.

(a) Chứng minh rằng $A$ là một vành địa phương, trong đó iđêan nilradical $\mathfrak{N}$ là một iđêan nguyên tố. Chứng minh rằng, hoặc $\mathfrak{N}^2 = \mathfrak{N}$, hoặc $\mathfrak{N}$ là lũy linh; vành $A/\mathfrak{N}$ là một vành định giá.

(b) Nếu $\mathscr{L}$ là tập sắp thứ tự toàn phần của các iđêan chính của $A$, chứng minh rằng tập hợp các iđêan của $A$ được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm và đẳng cấu với phép hoàn thành của tập hợp $\mathscr{L}$ (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, Bài tập 15).

(c) Giả sử rằng $\mathfrak{N}^2 = 0$; khi đó $\mathfrak{N}$ có thể được xem như một môđun trên vành định giá $V = A/\mathfrak{N}$; gọi $K$ là trường phân thức của $V$ và $\Gamma$ là nhóm cấp của một định giá $v$ trên $K$ tương ứng với $V$; chứng minh rằng tồn tại trong $\Gamma$ hai tập lớn $M \subset M'$ sao cho $\mathfrak{N}$ là một $V$-môđun đẳng cấu với $a(M')/a(M)$ (ký hiệu của § 3, no. 4).

(d) Ngược lại, cho một vành định giá $V$ với trường phân thức $K$ và nhóm cấp $\Gamma$ cùng hai tập lớn $M \subset M'$ trong $\Gamma$, đặt $Q = a(M')/a(M)$ và định nghĩa trên nhóm cộng tích $A = V \times Q$ một phép nhân bằng cách đặt

chứng minh rằng trong $A$ tập hợp các iđêan chính được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm; tập hợp $\mathfrak{N}$ gồm các cặp có thứ tự $(0, t)$ trong đó $t \in Q$ là nilradical của $A$, $\mathfrak{N}^2 = 0$ và $A/\mathfrak{N}$ đẳng cấu với $V$.

(e) Với mọi số nguyên tố $p$, vành $A = \mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z}$ là sao cho tập hợp các iđêan chính của $A$ được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm và nilradical $\mathfrak{N}$ của $A$ thỏa mãn $\mathfrak{N}^2 = 0$; nhưng hãy chứng minh rằng vành $A$ không đẳng cấu với vành được xây dựng (bắt đầu với $V = A/\mathfrak{N}$ và $Q = \mathfrak{N}$) bằng phương pháp trong (d) (chú ý rằng $A$ không chứa vành con nào đẳng cấu với $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$).

(f) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$, đại số $A$ của nhóm $U_p$ (Đại số, Chương VII, § 2, Bài tập 3) đối với trường nguyên tố $\mathbf{F}_p$ là một vành trong đó các iđêan chính tạo thành một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm và nilradical $\%$ thỏa mãn $\%^2 = \%$, nhưng $A$ không đẳng cấu với thương của một vành định giá theo một iđêan.