Exercice 3, § 4

a) Soit $\Theta$ un ensemble totalement ordonné, et pour chaque $s \in \Theta$ soit $A_s$ un sous-groupe de $\mathbf{R}$ non réduit à $0$. Soit

le sous-groupe du produit $\prod_{s \in \Theta} A_s$ formé des fonctions $f$ dont le support est une partie bien ordonnée de $\Theta$. On définit sur $G$ une structure d’ordre compatible avec sa structure de groupe en prenant comme ensemble $G_+$ des éléments $\geqslant 0$ l’ensemble formé de la fonction $0$ et des fonctions $f \neq 0$ telles que $f(\theta) > 0$ pour le plus petit élément $\theta$ du support de $f$. Montrer que $G$ est un groupe totalement ordonné, et que $\Theta$ est canoniquement isomorphe à l’ensemble des sous-groupes isolés principaux de $G$ ordonné par la relation $\supset$; en outre, si $H(a)$ correspond à $s \in \Theta$ par cet isomorphisme, $H(a)/H^-(a)$ est isomorphe à $A_s$.

b) On considère le sous-groupe $G'$ du groupe totalement ordonné $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ (pour l’ordre lexicographique) engendré par les éléments $(p_n^{-1}, np_n^{-1})$, où $(p_n)$ est la suite strictement croissante des nombres premiers.

Montrer que le seul sous-groupe isolé $H'$ de $G'$, distinct de $0$ et de $G'$, est le groupe $\{0\} \times \mathbf{Z}$; mais $G'$ n’est pas isomorphe à un sous-groupe du produit $H' \times (G'/H')$, ordonné suivant l’ordre lexicographique.