Bài tập 3, § 4

(a) Cho $\Theta$ là một tập sắp thứ tự toàn phần và với mỗi $s \in \Theta$ cho $A_s$ là một nhóm con của $\mathbf{R}$ không rút gọn về 0. Cho

là nhóm con của tích $\prod_{s \in \Theta} A_s$, gồm các hàm $f$ có giá là một tập con được sắp tốt của $@$. Ta định nghĩa trên $G$ một thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm của nó bằng cách lấy tập $G_+$ gồm các phần tử $\geqslant 0$ là tập gồm hàm 0 và các hàm $f \neq 0$ sao cho $f(\theta) > 0$ đối với phần tử nhỏ nhất $\theta$ của giá của f. Chứng minh rằng $G$ là một nhóm được sắp thứ tự toàn phần và rằng $\Theta$ đẳng cấu chính tắc với tập các nhóm con cô lập chính của $G$ được sắp thứ tự bởi quan hệ $\supset$; hơn nữa, nếu $H(a)$ tương ứng với $s \in \Theta$ theo đẳng cấu này, thì $H(a)/H^-(a)$ đẳng cấu với $A_s$.

(b) Xét nhóm con $G'$ của nhóm được sắp thứ tự toàn phần $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ (với thứ tự từ điển) sinh bởi các phần tử $(p_n^{-1}, n p_n^{-1})$, trong đó $(p_n)$ là dãy tăng ngặt của các số nguyên tố. Chứng minh rằng nhóm con cô lập $H'$ duy nhất của $G'$ phân biệt với 0 và $G'$ là nhóm $\{0\} \times \mathbf{Z}$; nhưng $G'$ không đẳng cấu với một nhóm con của tích $H' \times (G'/H')$ được sắp thứ tự bởi thứ tự từ điển.