Exercice 5, § 4

Soient $K$ un corps, $\mathfrak{M}$ l’ensemble des sous-anneaux de $K$ qui ne sont pas des corps. Montrer qu’un élément maximal de $\mathfrak{M}$ est un anneau de valuation de hauteur 1 pour son corps des fractions $L$, et que $K$ est une extension algébrique de $L$. Les conditions suivantes sont équivalentes : α) $\mathfrak{M}$ n’est pas vide. β) $\mathfrak{M}$ admet un élément maximal. γ) Il existe une valuation de hauteur 1 sur $K$. δ) $K$ n’est pas une extension algébrique d’un corps premier fini (cf. § 8, no 1).