Exercice 8, § 4

Soient $A$ un anneau local intègre de dimension 1 (exerc. 7), $K$ son corps des fractions. Montrer que pour que $A$ soit intersection

(*) On peut donner des exemples d’anneaux locaux de dimension 1, qui sont complètement intégralement clos, mais ne sont pas des anneaux de valuation (cf. P. Ribenboim, Sur une note de Nagata relative à un problème de Krull, Math. Zeitsch., t. LXIV (1956), pp. 159-168).

d’anneaux de valuation (pour K) de hauteur 1, il faut et il suffit que A soit complètement intégralement clos. On prouvera successivement que :

a) Un sous-anneau de K contenant A et l’inverse d’un élément $\neq 0$ de l’idéal maximal m de A est égal à K (utiliser le fait que tout idéal de A, distinct de 0 et de A, est m-primaire).

b) Si $B \supset A$ est un sous-anneau de K distinct de K, il existe un anneau de valuation V, de hauteur 1, tel que $B \subset V$ (utiliser a)).

c) Soit $z \in K - A$; montrer qu’on ne peut avoir $zm \subset m$ en raisonnant comme dans l’exerc. 7 b). En déduire qu’il existe un anneau de valuation V de hauteur 1 tel que $A \subset V$ et $z \notin V$. (Si $zm \subset A$, utiliser a); sinon, il y a un $x \in m$ tel que $xy = z \in K - A$; observer que $z \notin A[z^{-1}]$ et utiliser b) pour montrer l’existence de V).