Bài tập 8, § 4

Cho $A$ là một miền nguyên địa phương có chiều 1 (Bài tập 7) và $K$ là trường phân thức của nó. Hãy chỉ ra rằng để $A$ là giao của các vành định giá (của $K$) có chiều cao 1, điều kiện cần và đủ là $A$ đóng nguyên hoàn toàn. Chứng minh lần lượt rằng: (a) Một vành con của $K$ chứa $A$ và nghịch đảo của một phần tử $\neq 0$ của iđêan cực đại $m$ của $A$ thì bằng $K$ (dùng sự kiện rằng mọi iđêan của $A$ phân biệt với 0 và $A$ đều là $m$-nguyên sơ). (b) Nếu $B \supseteq A$ là một vành con của $K$ phân biệt với $K$, thì tồn tại một vành định giá $V$ có chiều cao 1 sao cho $B \subset V$ (dùng (a)). (c) Cho $z \in K - A$; hãy chỉ ra rằng $zm \subset m$ là không thể xảy ra bằng cách lập luận như trong Bài tập 7 (b). Suy ra rằng tồn tại một vành định giá $V$ có chiều cao 1 sao cho $A \subset V$ và $z \notin V$. (Nếu $zm \subset A$, dùng (a); ngược lại, tồn tại một $x \in m$ sao cho

nhận xét rằng $z \notin A[z^{-1}]$ và dùng (b) để chỉ ra sự tồn tại của $V$.)