Exercice 9, § 4

Soit A un anneau intègre, complètement intégralement clos et laskérien (chap. IV, § 2, exerc. 23). On suppose en outre que, pour tout $x \neq 0$ dans A, les idéaux premiers $\mathfrak{p}_i$ faiblement associés à $A/Ax$ (chap. IV, § 1, exerc. 17) sont tous de hauteur 1, c’est-à-dire que pour tout i, $\mathfrak{p}_i$ ne contient aucun idéal premier distinct de lui-même et de 0 (cf. chap. VII, § 1, no 6). Montrer que dans ces conditions A est intersection d’anneaux de valuation de hauteur 1. (Montrer d’abord que A est l’intersection de tous les anneaux $A_{\mathfrak{p}}$, où $\mathfrak{p}$ parcourt l’ensemble des idéaux premiers de hauteur 1, en utilisant l’exerc. 17 i) du chap. IV, § 1. Prouver ensuite que ces anneaux locaux $A_{\mathfrak{p}}$ sont complètement intégralement clos, en utilisant la condition (LA₁) du chap. IV, § 2, exerc. 23. Appliquer enfin l’exerc. 8). Les hypothèses précédentes sont en particulier remplies lorsque A est un anneau intègre laskérien, complètement intégralement clos, et dans lequel tout idéal admet une seule décomposition primaire (chap. IV, § 2, exerc. 26).