Bài tập 9, § 4

Cho $A$ là một miền nguyên đóng toàn phần Laskerian (chương IV, § 2, Bài tập 23). Giả sử thêm rằng, với mọi $x \neq 0$ trong $A$, các iđêan nguyên tố $p_i$,

(*) Có những ví dụ về các miền nguyên địa phương có chiều 1 đóng toàn phần nhưng không phải là các vành định giá (cf. P. Ribenboim, Sur une note de Nagata relative à un probléme de Krull, Math. Zeitsch., v. LXIV (1956), pp. 159–168).

yếu liên kết với $A/A_x$ (chương IV, § 1, Bài tập 17) đều có chiều cao 1, nghĩa là với mọi $i$, $p_i$ không chứa iđêan nguyên tố nào khác ngoài chính nó và 0 (cf. chương VII, § 1, no. 6). Chứng minh rằng dưới các điều kiện này $A$ là một giao của các vành định giá chiều cao 1. (Trước hết chứng minh rằng $A$ là giao của tất cả các vành $A_p$, trong đó $p$ chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố có chiều cao 1, sử dụng Bài tập 17 (i) của chương IV, § 1. Sau đó chứng minh rằng các vành địa phương $A_p$ này đóng toàn phần, sử dụng điều kiện (LA$_1$) của chương IV, § 2, Bài tập 23. Cuối cùng áp dụng Bài tập 8.) Các giả thiết trên đặc biệt được thỏa mãn khi $A$ là một miền nguyên đóng toàn phần Laskerian trong đó mọi iđêan đều có một phân tích nguyên sơ duy nhất (chương IV, § 2, Bài tập 26).