Exercice 5, § 5

a) Soient $K$ un corps, $v$ une valuation sur $K$, $\Gamma$ le groupe des ordres de $v$. Pour que $K$ soit linéairement compact (chap. III, § 2, exerc. 15) pour la topologie $\mathscr{C}_v$, il faut et il suffit que pour toute partie bien ordonnée $B$ de $\Gamma$ et toute famille $(a_\beta)_{\beta \in B}$ d’éléments de $K$ telle que, pour $\lambda < \mu < v$, on ait $v(a_\lambda - a_\mu) < v(a_\mu - a_v)$, il existe un élément $a \in K$ tel que $v(a - a_\lambda) = v(a_\lambda - a_\mu)$ pour tout couple d’indices $\lambda, \mu$ tels que $\mu > \lambda$. (Utiliser l’exerc. 4 de Ens., chap. III, 2e éd., § 2). Lorsqu’il en est ainsi, l’anneau $A$ de la valuation $v$ est aussi linéairement compact pour la topologie discrète.

b) Montrer que le corps $S(\Gamma, k) = K$ défini au § 3, exerc. 2, est linéairement compact pour $\mathscr{C}_v$. On prend pour $\Gamma$ le groupe totalement ordonné $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels, et l’on considère le sous-anneau $K_0$ de $K$ formé des $x = (x_\alpha)$ tels que l’ensemble des $x \in \mathbf{Q}$ pour lesquels $x_\alpha \neq 0$ soit fini ou soit l’ensemble des points d’une suite strictement croissante tendant vers $+\infty$. Montrer que $K_0$ est un corps qui est complet pour la valuation $v_0$ induite par la valuation canonique $v$ de $K$, et que $v_0$ a même groupe des valeurs et même corps résiduel que $v$, mais que $K_0$ n’est pas linéairement compact (cf. § 10, exerc. 2).